Задание 27 ЕГЭ по информатике · FD2DE1

На вход программы поступает последовательность из N целых положительных чисел, все числа в последовательности различны. Рассматриваются все пары различных элементов последовательности, находящихся на расстоянии не меньше чем 5 (разница в индексах элементов пары должна быть 5 или более, порядок элементов в паре неважен). Необходимо определить количество таких пар, для которых произведение элементов делится на 11.
В первой строке входных данных задаётся количество чисел N (5≤N≤1000). В каждой из последующих N строк записано одно целое положительное число, не превышающее 10 000.
В качестве результата программа должна вывести одно число: количество пар элементов, находящихся в последовательности на расстоянии не меньше чем 5, в которых произведение элементов кратно 11.
Пример входных данных:
8
22
2
3
5
4
6
7
11
Пример выходных данных для приведённого выше примера входных данных:
5
Пояснение. Из восьми заданных элементов с учётом допустимых расстояний между ними можно составить 6 произведений: 22⋅6, 22⋅7, 22⋅11, 2⋅7, 2⋅11, 3⋅11. Из них на 11 делятся 5 произведений.
Требуется написать эффективную по времени и памяти программу для решения описанной задачи. Программа считается эффективной по времени, если при увеличении количества исходных чисел N в k раз время работы программы увеличивается не более чем в k раз. Программа считается эффективной по памяти, если память, необходимая для хранения всех переменных программы, не превышает 1 килобайта и не увеличивается с ростом N.
Перед текстом программы обязательно кратко опишите алгоритм решения. Укажите использованный язык программирования и его версию.

1. Произведение двух целых чисел делится на 11, если хотя бы один из множителей делится на 11, поскольку 11 является простым числом.

2. Нельзя хранить всю последовательность. Будем обрабатывать числа последовательно и хранить только количество элементов, которые уже разрешено использовать в паре с текущим элементом. Для позиции i разрешены позиции не более i−5, поэтому перед обработкой текущего числа добавляется элемент с индексом i−5.

3. Храним два счётчика: количество разрешённых элементов, кратных 11, и количество разрешённых элементов, не кратных 11. Если текущее число кратно 11, оно образует подходящую пару с каждым разрешённым элементом. Иначе оно образует подходящую пару только с разрешёнными элементами, кратными 11.

4. Для ограничения памяти достаточно хранить последние пять чисел в циклическом буфере. Каждый элемент добавляется в счётчики ровно один раз и обрабатывается ровно один раз, поэтому время работы имеет сложность O(N), а дополнительная память — O(1).

5. Программа на Python 3.11:

6. from collections import deque n = int(input()) window = deque() count_div11 = 0 count_other = 0 answer = 0 for i in range(n):
x = int(input()) if len(window) == 5:
old = window.popleft() if old % 11 == 0:
count_div11 += 1 else:
count_other += 1 if x % 11 == 0:
answer += count_div11 + count_other else:
answer += count_div11 window.append(x) print(answer)