Задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Задача с параметром. 186 тем с примерами, ответами и решениями.
Темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»2Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»3Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»4(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалыванийДробь = 0, «ровно два различных решения»5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»6Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»7Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»8Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»9Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»10Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»11Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 0Дробь = 0, «ровно два различных решения»12(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке«Ровно один корень на отрезке»13((x−a−p)(x+a−q))/√(2mx−x²−a²) = 0 на отрезке«Ровно один корень на отрезке»14ln(kx−1)·√(x²−2mx+2ta−a²) = 0 на отрезке«Ровно один корень на отрезке»15√(x²−a²) = √(3x²−…) — равенство двух корней«Ровно один корень на отрезке»16Множитель при корне: x²+(x−p)√(kx−a) = px«Ровно один корень на отрезке»17Корень слева умножен на x: x√(x−a) = √((x−a)((u+v)x−uv))«Ровно один корень на отрезке»18Равенство квадратов: сводится к квадратному уравнению«A² = B²» — единственное решение на отрезке19Равенство квадратов с модулем«A² = B²» — единственное решение на отрезке20Равенство квадратов с логарифмом«A² = B²» — единственное решение на отрезке21(x²−t²+√(kx−a))² = (x²−t²)²+kx−a«A² = B²» — единственное решение на отрезке22Ответ в π: (kx+a+1+tg x)² = (kx+a−1−tg x)²«A² = B²» — единственное решение на отрезке23Корень с обеих сторон: (x²+√(a−x))² = (px+q+√(a−x))²«A² = B²» — единственное решение на отрезке24(kx−c)·ln(x+a) = (kx−c)·ln(px−a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h25ln(qa−x)·ln(2x+ra−r) = ln(qa−x)·ln(x−a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h26√(kx−c)·ln(px−a) = √(kx−c)·ln(qx+a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h27Без отрезка: √(c−kx)·ln(m²x²−a²) = √(c−kx)·ln(mx+a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h28Тот же типаж с отрезком [0; 1]Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h29√(kx−c)·ln((x−m)²+1−a²) = 0Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h30√(x−a)·sin x = √(x−a)·cos x на [0; Qπ]Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h31tg(πx)·ln(x+a) = ln(x+a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h32√(x+ca)·ln(x−a) = (x−p)·ln(x−a)Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h33Ровно два решения: {log(a−x²)=log(a−y²); окружность}Системы с логарифмом или корнем и кривой34Нестрогое условие области определения: {√(a−y²)=√(a−x²); окружность}Системы с логарифмом или корнем и кривой35{log(c²−y²)=log(c²−a²x²); окружность}Системы с логарифмом или корнем и кривой36{√(c²−y²)=√(c²−a²x²); окружность}Системы с логарифмом или корнем и кривой37{√(c²−y²)=√(c²−k²x²); (x−a)(y−a)=0}Системы с логарифмом или корнем и кривой38Ровно три решения: {√(2mx−x²)=√(2may−a²y²); y=x²}Системы с логарифмом или корнем и кривой39(x³+x²−k²a²x−2mx+a)/(x³−k²a²x) = 1Рациональные, четвёртой степени, кусочные40Не менее трёх корней: x⁴−rx³−tx²+rax+ta−a² = 0Рациональные, четвёртой степени, кусочные41log_{c−x}(d−a−x) = 2 — хотя бы один корень на промежуткеРациональные, четвёртой степени, кусочные42|px²+qx+r| = a−px²−sx — нет решений или единственноеРациональные, четвёртой степени, кусочные43Ровно два корня: a|x−p| = c/(x+q) на [0;+∞)Рациональные, четвёртой степени, кусочные44Более двух корней: |c/x−k| = ax−1 на (0;+∞)Рациональные, четвёртой степени, кусочные45Ровно три корня: |x²−px−q|−ka = |x−a|−cРациональные, четвёртой степени, кусочные46ax+√(r²−(x+m)²) = ap+q — пучок прямых и полуокружностьРациональные, четвёртой степени, кусочные47{ka≤x; 2mx>x²+a²; x+a≤s} — хотя бы одно решение на отрезкеСистемы неравенств с параметром48Единственное решение: распадающаяся кривая + пучок прямыхСистемы неравенств с параметром49НЕ имеет решений: круг ∪ точка и пучок прямыхСистемы неравенств с параметром50Хотя бы одно решение: {(x+k₁a+m₁)(x+k₂a+m₂)<0; x²+a²=c²}Системы неравенств с параметром51Хотя бы одно решение: {a(x−1)≥4; 2√(x−c)≥a; kx<a+d}Системы неравенств с параметром52Единственное решение: {(a+px+c)(a−qx+c) ≤ 0; a+rx ≥ x²}Системы неравенств с параметром53Единственное решение: {(a+p)x²+2ax+a+q ≤ 0; ax²+2(a+s)x+a+t ≥ 0}Системы неравенств с параметром54Есть решение на [L; 0]: {|x|+|a| ≤ c; x²+px < ka+d}Системы неравенств с параметром55Два или три решения: {|2x²+y²−w| + y²+py = 0; y = mx+a}Системы неравенств с параметром56Есть решение на [−L; L]: (k|x|−a−c)(x²−px−q−a) ≤ 0Системы неравенств с параметром57{(y−1)(xy−k)/√(x−v) = 0; y = x + a}Распадающаяся кривая + прямая58{(y−h)(y−x−b)√(x−v) = 0; x + y = a}Распадающаяся кривая + прямая59Корень в числителе и в знаменателеРаспадающаяся кривая + прямая60Ограничение по y, единственное решениеРаспадающаяся кривая + прямая61Сдвиг прямой отрицательныйРаспадающаяся кривая + прямая62{(y−h)(xy−k)/√(x−v) = 0; y = ax}Распадающаяся кривая + прямая63Множитель √(xHi−x) добавляет вертикальРаспадающаяся кривая + прямая64Ограничение по y, ровно три решенияРаспадающаяся кривая + прямая65Множитель √(y−yLo) добавляет горизонтальРаспадающаяся кривая + прямая66{((√(A−x²)−y)(x²+py−q))/(d−x²) = 0; y = 1−2a}Распадающаяся кривая + прямая67Единственное решение: две верхние полуокружности, сдвинутые вдоль y = xРаспадающаяся кривая + прямая68Ровно два корня: (pa/(a−q))·b^|x| = b²^|x| + (ra+s)/(a−q)Показательные и модульные уравнения69Хотя бы один корень: |kx+a²/x+c| + |kx+a²/x−d| = c+dПоказательные и модульные уравнения70Ровно два: (|x+p|+|x−a|)² − 2q(…) + q²−(ka−m)² = 0Показательные и модульные уравнения71Единственное решение: 4ˣ + (a−c)2ˣ = (m+k|a|)2ˣ + …Показательные и модульные уравнения72Сумма модулей = A−B: корни есть, но не в интервалеПоказательные и модульные уравнения73Весь отрезок [L;R] — решения уравнения с модулямиПоказательные и модульные уравнения74|A sin x+a²+p|+|B sin x+a+q| ≤ C sin x+|a²+a+r|+D при любом xПоказательные и модульные уравнения75Ровно четыре решения: чётная периодическая f (парабола на периоде) = |a+w|·∛(κx)Показательные и модульные уравнения76Целые a < 0: ∃b > a, при котором неравенство с |a+b|, |b−m|, |a−b|, |a²−b+m₂| нарушеноПоказательные и модульные уравнения77Ровно два решения: (|x−h|−|x−a|)² − ka(…) + Q(a) = 0Показательные и модульные уравнения78Ровно два корня: k₁x − |k₂x − |x+a|| = k₃|x−u|Показательные и модульные уравнения79Хотя бы один корень: (p·cos x−c−a)cos x − q·cos2x + r = 0Тригонометрия с параметром80k·sin x = m·cos x + a — единственное решение на отрезкеТригонометрия с параметром81(tg x+b)² − … = 0 — ровно два решения на [0; 3π/2]Тригонометрия с параметром82Единственный корень: |sin²x+k·cos x+a| = sin²x+m·cos x−aТригонометрия с параметром83ⁿ√ + log + ra = 0 — любой корень принадлежит отрезкуТригонометрия с параметром84Ровно два решения: sin√(ax−kx²) + cos2√(ax−kx²) = 0Тригонометрия с параметром85Ровно два решения: cos√(ax−kx²) + cos2√(ax−kx²) = 0Тригонометрия с параметром86Ровно один корень: (x²+kx+m+2a²)² = 8a²(x²+kx+m)Квадрат по замене, расстояние между корнями87Модуль разности корней наибольшийКвадрат по замене, расстояние между корнями88Два корня на [L;R): w²t + 1/t + 2w = 0, t = ax−kx²Квадрат по замене, расстояние между корнями89ax²+2(a+p)x+a+q = 0 — расстояние между корнями больше dКвадрат по замене, расстояние между корнями90(ax²−2x)² + … = 0 — трёхчлен по t раскладываетсяКвадрат по замене, расстояние между корнями91Ровно четыре: (x+1/(x−a))² − (a+w)(…) + 2a(w−a) = 0Квадрат по замене, расстояние между корнями92Ровно два: ((a−1)x²+bx)² − 2(…) + 1 − a² = 0Квадрат по замене, расстояние между корнями93Более двух корней: |x²−2ax+c| = |ka−x²−2bx−d|Квадрат по замене, расстояние между корнями94Единственное: {(|x|−q)²+(y−h)²=ρ²; окружность радиуса a}Окружность и семейство кривых; два модуля95Ровно три: {окружность радиуса m√2; y=|x−a|+w}Окружность и семейство кривых; два модуля96Ровно два: {(|y|−x−c)(окружность)/(x+c)=0; y=√(a−f)·x}Окружность и семейство кривых; два модуля97Единственный корень: x²+(p−a)² = |x−a+p|+|x+a−p|Окружность и семейство кривых; два модуля98x⁴+(a−p)² = сумма модулей — одно решение или ни одногоОкружность и семейство кривых; два модуля99Единственное решение: √(x⁴+(a−p)⁴) = сумма модулейОкружность и семейство кривых; два модуля100Более одного решения: {|x²+y²−R²| справа; прямая px+qy=a}Окружность и семейство кривых; два модуля101Более двух решений: {f(x)=f(y) с |x²−c²|; x+y=a}Окружность и семейство кривых; два модуля102Более двух решений: {f(x)=f(y) с |x²−2dx|; x+y=a}Окружность и семейство кривых; два модуля103Имеет решение: {(x−p)²+(y−q)²=0; a²+ax+may=K}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности104Ровно одно решение: {две точки; круг с центром (a; 2a)}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности105Ровно четыре: {(x+ay−c)(x+ay−ca)=0; окружность}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности106Ровно четыре: {y=(a+p)x²+2ax+a−p; y²=k²x²}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности107Ровно два решения: {x²+y²=a²; xy=a²−ka}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности108Ровно два решения: две окружности равного радиусаСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности109Единственное решение: две окружности, касаниеСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности110Нет решений: две окружности с бегущими центрамиСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности111Ровно два: {px²+py²=kxy; (x−a)²+(y−a)²=ρa⁴}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности112{полоса; окружность} — единственное решениеСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности113Ровно четыре: {x⁴−y⁴=pa−q; x²+y²=a}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности114Более одного решения: окружность и прямая, обе бегут по aСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности115Ровно шесть решений: {две прямые; |xy|=a}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности116Ровно три: {|x−a|+m|y−a|=c; (x−u)(y−u)=0}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности117Ровно два: общий множитель + круг области определения логарифмаСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности118Ровно два: общий множитель + полуплоскость логарифмаСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности119Единственное: сумма расстояний = |F₁F₂| (отрезок) и кругСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности120Единственное решение: отрезок F₁F₂ и горизонтальСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности121Ровно четыре: {окружность радиуса k√2; y²=x²}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности122Ровно четыре: та же окружность в раскрытом видеСистемы «две кривые»: точки, прямые, окружности123Ровно четыре: {пучок окружностей; (x−1)(y−1)=0}Системы «две кривые»: точки, прямые, окружности124√(x⁴−k²x²+a²) = x²+kx±a — ровно три различных корняИррациональные уравнения125Ровно три различных корня: √((w²+2)x²+2ax+1) = x²+ax+1Иррациональные уравнения126Хотя бы один корень: √(x+pa+c) + √(x−a) = mИррациональные уравнения127Единственный корень: bˣ − a = √(b²ˣ−ka+m)Иррациональные уравнения128Ровно два корня: √(bˣ−a) + (a−c)/√(bˣ−a) = mИррациональные уравнения129Хотя бы один корень: (px−x²)² − c√(px−x²) = a²−qaИррациональные уравнения130√x + √(pa−x) = ca — ровно два различных корняИррациональные уравнения131|1−k√x| = m(x+a) — ровно два корня при a > 0Иррациональные уравнения132√(1−px) = a−k|x| — более двух корнейИррациональные уравнения133Не имеет корней: k³x⁶+(pa−qx)³+ckx²+cpa = cqxМонотонная замена φ(t) = tⁿ + ct134Более трёх решений: x²ⁿ+(a−k|x|)ⁿ+x²−k|x|+a = 0Монотонная замена φ(t) = tⁿ + ct135Хотя бы один корень: cos²ⁿx+(k cos x−a)ⁿ+cos²x+k cos x = aМонотонная замена φ(t) = tⁿ + ct136Ровно два корня: log_{a−p}(kx²+c) = log_{a−p}(k(a−q)x+d)Логарифмические с параметром137Ровно два решения: (log₂(x+a)−log₂(x−a))² − S·(…) + P = 0Логарифмические с параметром138|k·bˣ−a| − |bˣ+ma| = b²ˣ — ровно два неотрицательных решенияМодули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t²139Есть решение < C: |log₀,₅(x²)−a| − |log₀,₅x+ma| = (log₀,₅x)²Модули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t²140Хотя бы один корень: (c+|x+a|)³−(…)² = (d−x²−2ax−ka²)³−(…)²Модули на полупрямой: |kt−a|−|t+ma| = t²141Ровно четыре решения: {окружность с центром (a;0); p²x² = q²y²}Симметричные системы142Единственное решение: {a(x⁴+1) = y+c−|x|; окружность}Симметричные системы143Единственное решение: {px−qy+z = kx²+my²; −x+y+rz = a}Симметричные системы144Ровно четыре решения: {nx⁴+my² = na²; x²+y = |pa−c|}Симметричные системы145Более трёх решений: {ветвь гиперболы + вертикальный луч; прямая и пучок}Симметричные системы146Ровно четыре решения: {пучок окружностей; вертикаль и парабола}Симметричные системы147Единственное решение: √(a²+x²) = cos kx + a²+pa−cСимметричные системы148Ровно одно решение: {y = f(x); x = f(y)}Симметричные системы149Единственное решение: {окружность с центром на y = x; x/y+y/x = g(sin α)}Симметричные системы150Наибольшее значение |x−a| − kx² не меньше CНаибольшее и наименьшее значения функции151Наименьшее значение (kx−a)²+pa+q на |x| ≥ rНаибольшее и наименьшее значения функции152Наименьшее значение (αa+β)x + γa+δ + |x²−px+q|Наибольшее и наименьшее значения функции153f(x) = x² − c|x−a²| − kx — более двух точек экстремумаНаибольшее и наименьшее значения функции154Тот же типаж: есть хотя бы одна точка максимумаНаибольшее и наименьшее значения функции155Ровно одна точка минимума: f = kax⁴−px³+qx²+c на [−1;1]Наибольшее и наименьшее значения функции156Наименьшее значение k|x+a| + |x²−px+q|Наибольшее и наименьшее значения функции157Наименьшее значение x − k|x| + |(x−a)(x−a−2w)|Наибольшее и наименьшее значения функции158|(x²+ax+c)/(px²+qx+r)| < M при всех xНеравенства «при всех x»159Возрастающая левая часть: «при всех x» сводится к правому концуНеравенства «при всех x»160|x²−px+a+c| ≤ M для всех x из [a−L; a]Неравенства «при всех x»161Тот же типаж: |…| > M не имеет решений на отрезкеНеравенства «при всех x»162Ровно четыре решения: {(x−h)(y+kx−kh) = |x−h|³; y = mx+a}Кривая с модулем + прямая163Ровно три решения: {x(x²+y²+αy+β) = |x|(γy+δ); 4y = 3x+a}Кривая с модулем + прямая164Более двух решений: {y²−αx−c = |x²−px−q|; x−2y = a}Кривая с модулем + прямая165Более двух решений: {2x−2y−2d = |x²+y²−ρ²|; пучок через вершину}Кривая с модулем + прямая166Ровно два решения: {x²+px+y²+qy+r = |αx+βy+γ|; пучок через точку стыка}Кривая с модулем + прямая167Более двух решений: тот же «лепесток», но семейство параллельных прямыхКривая с модулем + прямая168Ровно три решения: {ось Oy + луч прямой + полуокружность; пучок}Кривая с модулем + прямая169Одно или два решения: {|x²+px+q| = (y−k)²+cx+d; n₁x+n₂y = a}Кривая с модулем + прямая170Ровно один корень: (x−pa)/(x+c) + (x−d)/(x−a) = 1Дроби и замены (остаток раздела M)171x³+px²−ax+q = 0 — единственный корень на отрезкеДроби и замены (остаток раздела M)172Тот же типаж с параметром под логарифмом: x³+px²−x·log_c(b−s)+q = 0Дроби и замены (остаток раздела M)173Наименьшее натуральное a: расстояние между крайними корнями ≥ dДроби и замены (остаток раздела M)174Множество значений (A+Bt)/(t²+m²) содержит отрезок [0; h]Дроби и замены (остаток раздела M)175Галочка и горизонталь ограничивают треугольник площади ≤ SДроби и замены (остаток раздела M)1763x²−24x+c = a|x−3| — ровно три положительных корняДроби и замены (остаток раздела M)177Множество значений (√(a+1)−k cos3x+1)/(sin²3x+…) содержит [L; H]Дроби и замены (остаток раздела M)178Есть решение на [0; π/2]: (Aa−(mq−Ca)cos t)/(p sin t−q cos t) = mДроби и замены (остаток раздела M)179Есть решение на отрезке: (sin x−a cos x)/(sin x+q cos x) = 1/(a+r)Дроби и замены (остаток раздела M)180Множество решений тригонометрического неравенства содержит отрезокДроби и замены (остаток раздела M)181Найти все x: равенство верно при любом a из отрезкаДроби и замены (остаток раздела M)182Ровно два решения: x⁴sin α + Px²cos α + Q sin α = 0Дроби и замены (остаток раздела M)183Существует пара (x; y): p|x−u| + q|x+a| ≤ √(ρ²−y²) − cОценочные «хотя бы один корень»184Хотя бы один корень: a²−pa+k√(x²+β²) = u|x−va| − w|x|Оценочные «хотя бы один корень»185Тот же приём в сдвинутой записи (модуль слева)Оценочные «хотя бы один корень»186Одна точка; ответ и по a, и по x: 1 ≤ (a+x²+2L)/(K√(Px⁴+Qx²)+a+1+L²)Оценочные «хотя бы один корень»
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.