Задание 19 ЕГЭ по информатике · CCA614

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или три камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 435.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу из 435 камней или больше.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 434.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Петя не должен выигрывать первым ходом, поэтому после каждого его возможного хода количество камней должно быть меньше 435. В частности, при S=217 это выполняется: 218, 220 и 434.

2. Чтобы Ваня мог выиграть одним ходом из позиции x, достаточно, чтобы 2x≥435, либо чтобы x+3≥435, либо чтобы x+1≥435. Наименьшая подходящая позиция — x=218, так как 2⋅218=436.

3. Минимальный результат хода Пети равен S+1, поэтому требуется S+1≥218, то есть S≥217. При S=217 после ходов Пети получаются позиции 218, 220 и 434; Ваня может удвоить 218, добавить 3 к 220 или добавить 1 к 434.