ЭДС и реостат: наибольшая мощность — задание 17 ЕГЭ по профильной математике
Электрическая цепь. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 120 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
3600 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 120 и r = 1, получим функцию P(R) = 14400R(R + 1)2. Её производная равна P′(R) = 14400(1 − R)(R + 1)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 1 и отрицательна при R > 1, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на луче [1; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 1. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(1) = 14400 · 1(1 + 1)2 = 3600 Вт.
Пример 2
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 100 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
2500 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 100 и r = 1, получим функцию P(R) = 10000R(R + 1)2. Её производная равна P′(R) = 10000(1 − R)(R + 1)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 1 и отрицательна при R > 1, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на луче [1; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 1. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(1) = 10000 · 1(1 + 1)2 = 2500 Вт.
Пример 3
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 100 В и внутренним сопротивлением r = 4 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
625 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 100 и r = 4, получим функцию P(R) = 10000R(R + 4)2. Её производная равна P′(R) = 10000(4 − R)(R + 4)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 4 и отрицательна при R > 4, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 4] и убывает на луче [4; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 4. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(4) = 10000 · 4(4 + 4)2 = 625 Вт.
Пример 4
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 110 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
3025 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 110 и r = 1, получим функцию P(R) = 12100R(R + 1)2. Её производная равна P′(R) = 12100(1 − R)(R + 1)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 1 и отрицательна при R > 1, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на луче [1; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 1. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(1) = 12100 · 1(1 + 1)2 = 3025 Вт.
Пример 5
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 40 В и внутренним сопротивлением r = 2 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
200 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 40 и r = 2, получим функцию P(R) = 1600R(R + 2)2. Её производная равна P′(R) = 1600(2 − R)(R + 2)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 2 и отрицательна при R > 2, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 2] и убывает на луче [2; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 2. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(2) = 1600 · 2(2 + 2)2 = 200 Вт.
Другие темы задания №17
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.