Качка корабля: период наибольшей амплитуды — задание 17 ЕГЭ по профильной математике
Колебания. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = 0,85θ0 · τ2, где k = 0,85 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 8° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 13,8 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,3072 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
15
Решение
Так как A > 0, максимумы A и A2 достигаются в одной точке. Положим x = τ2, x > 0. Достаточно исследовать на экстремум функцию A2 = (kθ0)2f(x), где f(x) = x2x2 + (n − 2)T2x + T4. Знаменатель при x > 0 положителен. Производная равна f′(x) = T2x(2T2 − (2 − n)x)x2 + (n − 2)T2x + T42. В области определения множители T2x и знаменатель положительны, поэтому f′(x) = 0 при 2T2 − (2 − n)x = 0, то есть x0 = T21 − n/2. При 0 < x < x0 производная положительна, при x > x0 — отрицательна, значит x0 — точка максимума. Следовательно, τ = T = 13,8 = 13,80,92 = 15.
Пример 2
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = 0,9θ0 · τ2, где k = 0,9 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 8° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 19 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,195 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
20
Решение
Так как A > 0, максимумы A и A2 достигаются в одной точке. Положим x = τ2, x > 0. Достаточно исследовать на экстремум функцию A2 = (kθ0)2f(x), где f(x) = x2x2 + (n − 2)T2x + T4. Знаменатель при x > 0 положителен. Производная равна f′(x) = T2x(2T2 − (2 − n)x)x2 + (n − 2)T2x + T42. В области определения множители T2x и знаменатель положительны, поэтому f′(x) = 0 при 2T2 − (2 − n)x = 0, то есть x0 = T21 − n/2. При 0 < x < x0 производная положительна, при x > x0 — отрицательна, значит x0 — точка максимума. Следовательно, τ = T = 19 = 190,95 = 20.
Пример 3
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = 0,91θ0 · τ2, где k = 0,91 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 8° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 18,4 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,3072 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
20
Решение
Так как A > 0, максимумы A и A2 достигаются в одной точке. Положим x = τ2, x > 0. Достаточно исследовать на экстремум функцию A2 = (kθ0)2f(x), где f(x) = x2x2 + (n − 2)T2x + T4. Знаменатель при x > 0 положителен. Производная равна f′(x) = T2x(2T2 − (2 − n)x)x2 + (n − 2)T2x + T42. В области определения множители T2x и знаменатель положительны, поэтому f′(x) = 0 при 2T2 − (2 − n)x = 0, то есть x0 = T21 − n/2. При 0 < x < x0 производная положительна, при x > x0 — отрицательна, значит x0 — точка максимума. Следовательно, τ = T = 18,4 = 18,40,92 = 20.
Пример 4
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = 0,85θ0 · τ2, где k = 0,85 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 10° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 14,7 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,0792 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
15
Решение
Так как A > 0, максимумы A и A2 достигаются в одной точке. Положим x = τ2, x > 0. Достаточно исследовать на экстремум функцию A2 = (kθ0)2f(x), где f(x) = x2x2 + (n − 2)T2x + T4. Знаменатель при x > 0 положителен. Производная равна f′(x) = T2x(2T2 − (2 − n)x)x2 + (n − 2)T2x + T42. В области определения множители T2x и знаменатель положительны, поэтому f′(x) = 0 при 2T2 − (2 − n)x = 0, то есть x0 = T21 − n/2. При 0 < x < x0 производная положительна, при x > x0 — отрицательна, значит x0 — точка максимума. Следовательно, τ = T = 14,7 = 14,70,98 = 15.
Пример 5
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = 0,9θ0 · τ2, где k = 0,9 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, θ0 = 11° — угол наибольшего волнового склона, τ — период волны (в секундах), T = 13,8 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, n = 0,3072 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Показать ответ
15
Решение
Так как A > 0, максимумы A и A2 достигаются в одной точке. Положим x = τ2, x > 0. Достаточно исследовать на экстремум функцию A2 = (kθ0)2f(x), где f(x) = x2x2 + (n − 2)T2x + T4. Знаменатель при x > 0 положителен. Производная равна f′(x) = T2x(2T2 − (2 − n)x)x2 + (n − 2)T2x + T42. В области определения множители T2x и знаменатель положительны, поэтому f′(x) = 0 при 2T2 − (2 − n)x = 0, то есть x0 = T21 − n/2. При 0 < x < x0 производная положительна, при x > x0 — отрицательна, значит x0 — точка максимума. Следовательно, τ = T = 13,8 = 13,80,92 = 15.
Другие темы задания №17
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.