Precettore

Вариант 1 ЕГЭ по профильной математике

19 заданий по образцу ФИПИ. Впишите ответы и нажмите «Проверить вариант» — баллы посчитаются сразу.

К проверкеВариант 2
11 балл
Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, длины которых равны 13 и 4, считая от вершины, противолежащей основанию. Найдите периметр треугольника.
Рисунок к заданию 1
Показать ответ
42
21 балл
На координатной плоскости изображены векторы a и b, координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора a+2b.
Рисунок к заданию 2
Показать ответ
5
31 балл
В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что D1B = 2AD. Найдите угол между диагоналями DB1 и CA1. Ответ дайте в градусах.
Рисунок к заданию 3
Показать ответ
60
41 балл
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 3 из Уругвая, 7 из Дании, 2 из Норвегии и 16 из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Дании.
Показать ответ
0,25
51 балл
Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
Показать ответ
0,6
61 балл
Организаторы лотереи выпустили 20 000 билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
Выигрыш (в рублях)1001 0005 00020 000100 000
Число выигрышных билетов70025060251

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Показать ответ
61
71 балл
Найдите корень уравнения 3x+7=81.
Показать ответ
−3
81 балл
Найдите значение выражения 16sin32°·cos32°sin64°.
Показать ответ
8
91 балл
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция F(x) = 13x3 + 32x2 − 5 — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Рисунок к заданию 9
Показать ответ
4,5
101 балл
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала f0=350 Гц и определяется следующим выражением: f=f0·c+uc−v (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а u=10 м/с и v=10 м/с — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике f будет не менее 370 Гц?
Показать ответ
360
111 балл
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 45 % меди, второй — 15 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 120 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 21 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Показать ответ
200
121 балл
На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax. Найдите значение f(3).
Рисунок к заданию 12
Показать ответ
8
142 балла · часть 2, проверяет эксперт
а) Решите уравнение
2sin3x + 2 sin2x + 4sin x + 22 = 0
б) Найдите корни, принадлежащие отрезку [−5π; −3π].
Показать ответ
а) x = −π/4 + 2πn, x = 5π/4 + 2πn, n ∈ ℤ б) −19π/4; −17π/4
153 балла · часть 2, проверяет эксперт
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 10 и BC = 10. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 6√3, SB = 4√13, SD = 4√13.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Показать ответ
б) 90°
Решение
Из SB2 = SA2 + AB2 следует SA ⊥ AB, из SD2 = SA2 + AD2 — SA ⊥ AD, поэтому SA — высота. В координатах A(0; 0; 0), B(10; 0; 0), D(0; 10; 0), S(0; 0; SA) косинус угла между SC и BD даёт 90°.
162 балла · часть 2, проверяет эксперт
Решите неравенство
6·16x − 7·12x + 2·9x3·16x − 2·12x < 1
Показать ответ
(−∞; log_{4/3}(2/3)) ∪ (log_{4/3}(2/3); log_{4/3}1)
172 балла · часть 2, проверяет эксперт
На заводе имеется генератор с ЭДС ε = 90 В и внутренним сопротивлением r = 1 Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: I = εr + R. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: P = I2R. Какова максимальная тепловая мощность P, которая может быть выделена нагрузкой?
Показать ответ
2025 Вт
Решение
Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε2R(r + R)2. Подставив ε = 90 и r = 1, получим функцию P(R) = 8100R(R + 1)2. Её производная равна P′(R) = 8100(1 − R)(R + 1)3. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 1 и отрицательна при R > 1, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на луче [1; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 1. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(1) = 8100 · 1(1 + 1)2 = 2025 Вт.
183 балла · часть 2, проверяет эксперт
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.

а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 8.
Показать ответ
б) 192√2 − 256
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 192√2 − 256.
194 балла · часть 2, проверяет эксперт
Найдите все значения a > 0, при каждом из которых множество решений неравенства

1 ≤ a + x2 + 2log10(a2 − 6a + 18)2010x⁴ + 3x² + a + 1 + log210(a2 − 6a + 18)

состоит ровно из одной точки, и укажите это решение.
Показать ответ
a = 2; a = 4 — в каждом случае x = 0
Решение
Обозначим L = log10(a2 − 6a + 18) = log10((a − 3)2 + 9); при a > 0 знаменатель дроби положителен (20√(…) ≥ 0, a + 1 > 0, L2 ≥ 0), поэтому неравенство равносильно
20√(10x4 + 3x2) + a + 1 + L2 ≤ a + x2 + 2L, то есть 20√(10x4 + 3x2) ≤ x2 − (L − 1)2.
Оценим левую часть: 10x4 + 3x2 ≥ 10x4, значит она не меньше 20√10·x2 > x2 при x ≠ 0. Поэтому ненулевых решений нет ни при каком a.
Остаётся x = 0: неравенство принимает вид 0 ≤ −(L − 1)2, а это верно ровно при L = 1.
L = 1 ⟺ (a − 3)2 + 9 = 10 ⟺ (a − 3)2 = 1 ⟺ a = 2 или a = 4.
Ответ: a = 2; a = 4 — в каждом случае x = 0.
204 балла · часть 2, проверяет эксперт
Готовясь к экзамену, Вася и Петя решали задачи из сборника, и каждый из них решил все задачи этого сборника. Каждый день Вася решал на одну задачу больше, чем в предыдущий день, а Петя решал на две задачи больше, чем в предыдущий день. Они начали решать задачи в один день, при этом в первый день каждый из них решил хотя бы одну задачу.

а) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 9 дней?
б) Могло ли получиться так, что каждый из них решил все задачи сборника ровно за 12 дней?
в) Какое наименьшее число задач могло быть в сборнике, если известно, что каждый из них решал задачи более 5 дней, в первый день Вася решил больше задач, чем Петя, а за 6 дней Петя решил больше задач, чем Вася?
Показать ответ
а) да, например Вася решал по 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 задач, а Петя — по 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20: в сборнике 108 задач б) нет: если оба решали ровно d дней, то dv + d(d − 1)/2 = dp + d(d − 1), откуда v − p = (d − 1)/2. При d = 12 правая часть равна 5,5 — не целое число, а v и p целые в) 42; например Вася решал 7 дней, начав с 3 задач, а Петя — 6 дней, начав с 2
Решение
Пусть Вася решал a дней и в первый день решил v задач, а Петя решал b дней и в первый день p задач. Тогда
N = av + a(a − 1)/2 = bp + b(b − 1).
а) При a = b = 9 получаем v − p = 4: например Петя начинал с 4, Вася — с 8, и в сборнике 108 задач.
б) При a = b = d равенство даёт v − p = (d − 1)/2, а при чётном d = 12 это число не целое — противоречие.
в) Перебирая число задач N и числа дней a, b > 5 (первые дни восстанавливаются из N однозначно), получаем наименьшее N = 42: Вася решал 7 дней по 3, 4, 5, 6, … задач, Петя — 6 дней по 2, 4, 6, 8, … задач.
Ответ: 42.

Проверка варианта

Задания с кратким ответом проверятся сразу; вторую часть оценивает эксперт — сверьтесь с решениями под заданиями.

Нужен репетитор по математике?

Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.

Репетиторы по математике

Подбор репетитора

Напишите, что нужно, — команда Precettore подберёт репетитора и свяжется с вами.

Сохраняйте результаты и разбирайте ошибки

В Precettore результаты вариантов копятся по номерам, а ошибки можно разобрать с репетитором на доске.

Зарегистрироваться бесплатноВсе варианты