Вариант 2 ЕГЭ по профильной математике

Нормаль плоскости α равна (3; -1; 4), и она пересекает A₁B₁ в точке с абсциссой 4·(2·3 − 4)/3. Объём куба 64 делится на части, большая из которых равна 568/9.

Выразим тепловую мощность через ЭДС и сопротивление: P = ε²R(r + R)². Подставив ε = 30 и r = 1, получим функцию P(R) = 900R(R + 1)². Её производная равна P′(R) = 900(1 − R)(R + 1)³. Сопротивление нагрузки не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем R ≥ 0. Производная положительна при 0 ≤ R < 1 и отрицательна при R > 1, значит функция P(R) возрастает на отрезке [0; 1] и убывает на луче [1; +∞) и достигает наибольшего значения в точке 1. Таким образом, наибольшая тепловая мощность равна P(1) = 900 · 1(1 + 1)² = 225 Вт.

Треугольники ACH и CBH подобны исходному, поэтому AO₁ и CO₂ — соответственные биссектрисы, а угол между ними прямой. Диагонали четырёхугольника MO₁NO₂ перпендикулярны, и его площадь равна половине их произведения: 7/2.

Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 3(|x − t| + |x + t|) = 6·max(|x|; |t|), а левая — x² + t².
Уравнение чётно и по x, и по t, поэтому положим u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0: u² + v² = 6·max(u; v). Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один.
При u ≤ v получаем u² = 6v − v² (годится, если правая часть неотрицательна и не больше v²), при u > v — u² − 6u + v² = 0.
Единственный корень возможен только когда корень — это x = 0 и других нет: 6v = v², то есть v = 6 (при v = 0 добавляются ещё x = ±6).
Значит |a − 4| = 6.
Ответ: {−2} ∪ {10}.

Пусть A — трёхзначное число без нулей, P — произведение его цифр. Несократимая дробь A/P имеет знаменатель 12 ровно тогда, когда P кратно 12, а после сокращения в знаменателе остаётся именно 12.
Произведений трёх ненулевых цифр, кратных 12, всего 26: 12, 24, 36, 48, 60, 72, …. Для каждого такого P числитель равен A·12/P, поэтому достаточно перебрать эти P и подходящие A.
Наибольший числитель равен 431 и достигается при A = 431; для 259 подходящего числа нет.