Задание 13 ЕГЭ по информатике · 018811

Исполнитель преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Вычти 1
2. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 1, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 30 результатом является число 1, и при этом траектория вычислений содержит число 9?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы 122 при исходном числе 10 траектория состоит из чисел 9, 4, 2.

1. Так как обе команды уменьшают число, любая программа, траектория которой содержит 9, однозначно разбивается на путь от 30 до 9 и путь от 9 до 1.

2. Обозначим через f(n) число программ перехода из n в 9. Для n>9 выполняется рекуррентное соотношение f(n)=f(n−1)+f(⌊n/2⌋), а f(9)=1. Последовательное вычисление даёт f(30)=14.
f(30)=14

3. Обозначим через g(n) число программ перехода из n в 1. Для n>1: g(n)=g(n−1)+g(⌊n/2⌋), g(1)=1. Получаем g(9)=23.
g(9)=23

4. Общее число программ равно произведению числа способов добраться до 9 и числа способов пройти от 9 до 1.
14⋅23=322