Задание 13 ЕГЭ по информатике · C2EB01

Исполнитель преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Вычти 1
2. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 1, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 32 результатом является число 1, и при этом траектория вычислений содержит число 9?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы 122 при исходном числе 10 траектория состоит из чисел 9, 4, 2.

1. Обозначим через f(n) число программ, переводящих число n в число 1. Для каждого n>1 последняя команда является либо вычитанием 1, либо делением на 2.
f(n)=f(n−1)+f(⌊n/2⌋),f(1)=1

2. Последовательно вычисляя значения, получаем число программ от 9 до 1:
f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=7, f(6)=10, f(7)=13, f(8)=18, f(9)=23

3. Теперь считаем число путей от 32 до 9. Обозначим его через g(n), где g(9)=1, а для n>9 используем тот же переход.
g(n)=g(n−1)+g(⌊n/2⌋)

4. Вычисление от 9 до 32 даёт g(32)=16. Каждая программа, проходящая через 9, однозначно составляется из пути от 32 до 9 и пути от 9 до 1.
g(32)⋅f(9)=16⋅23=368