Задание 13 ЕГЭ по информатике · 9A65F5

Исполнитель преобразует число на экране.
У исполнителя есть две команды, которым присвоены номера:
1. Вычти 1
2. Найди целую часть от деления на 2

Первая из них уменьшает число на экране на 1, вторая заменяет число на экране на целую часть от деления числа на 2.

Программа для исполнителя — это последовательность команд.

Сколько существует программ, для которых при исходном числе 32 результатом является число 1, и при этом траектория вычислений содержит число 12?

Траектория вычислений программы — это последовательность результатов выполнения всех команд программы.

Например, для программы 122 при исходном числе 10 траектория состоит из чисел 9, 4, 2.

1. Обозначим через f(n) число программ, переводящих число n в число 1. Для числа 1 программа может быть пустой, поэтому f(1)=1.
f(1)=1

2. Для остальных чисел последняя команда может быть либо вычитанием 1, либо целочисленным делением на 2.
f(n)=f(n−1)+f(⌊n/2⌋)

3. Последовательно вычисляя значения, получаем f(12)=47.

4. Теперь считаем число программ, переводящих 32 в 12. Пусть g(n) — число программ из n в 12. При n<12 полагаем g(n)=0, а g(12)=1.
g(n)=g(n−1)+g(⌊n/2⌋)

5. Последовательное вычисление от 13 до 32 даёт g(32)=10.

6. Каждая программа из 32 в 12 может быть независимо продолжена любой программой из 12 в 1.
10⋅47=470