Задание 19 ЕГЭ по информатике · B3864F

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 12 камней, за один ход можно получить кучу из 13, 16 или 24 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 31.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 31 камень или больше.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 30.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Петя не может выиграть первым ходом, если после прибавления 1 или 4, а также после удвоения количество камней меньше 31. Для S≤15 это условие выполняется.

2. Ваня может выиграть одним ходом из любой позиции с количеством камней не менее 16: достаточно удвоить количество камней, поскольку 2⋅16=32≥31.

3. После любого хода Пети из позиции S получаются значения S+1, S+4 и 2S. Все они должны быть не менее 16. Наиболее строгим является условие S+1≥16, откуда S≥15.

4. Совместно с условием S≤15 получаем единственное значение S=15. После ходов Пети возможны позиции 16, 19 и 30, и Ваня в каждом случае удваивает количество камней.