Задание 19 ЕГЭ по информатике · 2C24A7

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 49. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 49 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 48.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Игрок может выиграть одним ходом из позиции с n камнями, если после добавления одного камня или удвоения количество камней станет не менее 49.
n+1≥49или2n≥49

2. Минимальное целое значение n, из которого можно выиграть одним ходом, равно 25.

3. Петя не должен выигрывать своим первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть меньше 49: в частности, S<25, так как при S≥25 Петя сразу может удвоить кучу.

4. После любого хода Пети Ваня должен иметь возможность выиграть одним ходом. Петя может получить S+1 или 2S, поэтому необходимо, чтобы обе позиции были не меньше 25.
S+1≥25,2S≥25

5. Из первого неравенства следует S≥24, а из условия, что Петя не выигрывает первым ходом, следует S≤24. Следовательно, S=24.