Задание 19 ЕГЭ по информатике · 35A49A

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в два раза. У каждого игрока есть неограниченное количество камней, чтобы делать ходы.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 58.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой находится 58 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 57.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Петя не должен иметь возможности выиграть за один ход. Для этого ни один из результатов его ходов не должен быть не менее 58. В частности, 2S<58, поэтому S≤28.

2. После любого хода Пети Ваня должен иметь возможность выиграть одним ходом. Если после хода Пети в куче x камней, то Ваня выигрывает при x≥29 удвоением, при x≥54 добавлением 4 или при x≥57 добавлением 1.

3. Проверим минимально необходимое условие для самого малого хода Пети: S+1≥29. Отсюда S≥28.

4. При S=28 после ходов Пети получится соответственно 29, 32 или 56 камней. Ваня в каждом случае выигрывает удвоением: 29⋅2=58, 32⋅2=64, 56⋅2=112.

5. При этом Петя сам не может выиграть первым ходом, поскольку 28+4=32<58 и 28⋅2=56<58.