Задание 19 ЕГЭ по информатике · 17A122

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня либо увеличить количество камней в куче в три раза. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 103.
Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, состоящую из 103 или более камней.
В начальный момент в куче было S камней; 1 ≤ S ≤ 102.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Петя не должен иметь возможности выиграть первым ходом. Поэтому после любого его хода количество камней должно быть меньше 103: S+1<103, S+4<103 и 3S<103.

2. Из последнего неравенства получаем S≤34.

3. Проверим значение S=34. Возможные результаты хода Пети: 34+1=35, 34+4=38 и 34⋅3=102.

4. Из позиции 35 Ваня умножает количество камней на 3 и получает 105. Из позиции 38 он также умножает количество камней на 3 и получает 114. Из позиции 102 он добавляет 1 и получает 103.

5. Следовательно, при любом ходе Пети Ваня выигрывает своим первым ходом, а Петя сам не может выиграть за один ход.