Задание 19 ЕГЭ по информатике · F626FA

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) 1 камень;
– увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в 3 раза.
Например, пусть в одной куче 20 камней, а в другой 30 камней; такую позицию в игре обозначим (20, 30). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (21, 30), (20, 31), (60, 30), (20, 90).
Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее 155. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно 155 камней или больше. В начальный момент в первой куче было 15 камней, во второй куче – S камней; 1 ≤ S ≤ 139.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.
Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети. Укажите минимальное значение S, при котором такая ситуация возможна.

1. Петя может первым ходом увеличить вторую кучу в 3 раза. После этого получится позиция (15,3S).

2. При S<16 даже утроение второй кучи Ваней не даёт нужной суммы: при S=15 сумма равна 15+9⋅15=150<155.

3. Чтобы Ваня выиграл своим первым ходом, он утроит вторую кучу. Требуется 15+9S≥155.

4. Решаем неравенство: 9S≥140, значит S≥15,56. Минимальное целое значение S равно 16.

5. При S=16 после хода Пети получаем (15,48), а после утроения второй кучи Ваней — (15,144), сумма равна 159, поэтому Ваня выигрывает.