Задание 19 ЕГЭ по информатике · FB8AAF

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, имея кучу из 15 камней, за один ход можно получить кучу из 16 или 30 камней. Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 29. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший кучу, в которой будет 29 или больше камней.
В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 28.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. В описание выигрышной стратегии не следует включать ходы играющего по этой стратегии игрока, не являющиеся для него безусловно выигрышными, т.е. не являющиеся выигрышными независимо от игры противника.
Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

1. Петя не может выиграть за один ход. При S≤14 удвоение не даёт 29 или больше, а добавление одного камня тем более не приводит к победе.

2. После добавления одного камня Петя оставляет в куче S+1 камней. Чтобы Ваня мог выиграть удвоением, необходимо 2(S+1)≥29, то есть S≥14.

3. После удвоения Петя оставляет 2S камней. Чтобы Ваня мог выиграть следующим ходом, необходимо 2S+1≥29 или 4S≥29. При целых S достаточно условия 2S≥15, то есть S≥8.

4. Совместно с условием S≤14 получаем единственное значение S=14. После ходов Пети получаются кучи из 15 или 28 камней; Ваня соответственно удваивает 15 или добавляет один камень к 28.