AD = R: площадь треугольника BEF — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 2 и CD = 10.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 2 и CD = 10.
Показать ответ
б) 54/13
Решение
Из AD = R следует tg(∠A/2) = 1, то есть ∠A = 90°. Тогда AB = R + BE, BC = BE + 10, AC = 12, и по теореме Пифагора BE = 3. Площадь равна ½·BE2·sin∠B = 54/13.
Пример 2
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 3 и CD = 9.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 3 и CD = 9.
Показать ответ
б) 72/5
Решение
Из AD = R следует tg(∠A/2) = 1, то есть ∠A = 90°. Тогда AB = R + BE, BC = BE + 9, AC = 12, и по теореме Пифагора BE = 6. Площадь равна ½·BE2·sin∠B = 72/5.
Пример 3
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 2 и CD = 6.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 2 и CD = 6.
Показать ответ
б) 32/5
Решение
Из AD = R следует tg(∠A/2) = 1, то есть ∠A = 90°. Тогда AB = R + BE, BC = BE + 6, AC = 8, и по теореме Пифагора BE = 4. Площадь равна ½·BE2·sin∠B = 32/5.
Пример 4
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 6 и CD = 18.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 6 и CD = 18.
Показать ответ
б) 288/5
Решение
Из AD = R следует tg(∠A/2) = 1, то есть ∠A = 90°. Тогда AB = R + BE, BC = BE + 18, AC = 24, и по теореме Пифагора BE = 12. Площадь равна ½·BE2·sin∠B = 288/5.
Пример 5
В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 10 и CD = 20.
а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.
б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF, если R = 10 и CD = 20.
Показать ответ
б) 270
Решение
Из AD = R следует tg(∠A/2) = 1, то есть ∠A = 90°. Тогда AB = R + BE, BC = BE + 20, AC = 30, и по теореме Пифагора BE = 30. Площадь равна ½·BE2·sin∠B = 270.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.