Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 120°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 120°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Показать ответ
б) 21
Решение
У описанной трапеции AD + BC = AB + CD, поэтому боковая сторона равна средней линии: AB = 6√7. Так как ∠A + ∠B = 180°, биссектрисы дают ∠AOD = 180° − ∠A, откуда ∠A = 60°. Тогда AD = m(1 + cos∠A), BC = m(1 − cos∠A), высота m·sin∠A, и AC = m·√(1 + sin2∠A) = 21.
Пример 2
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 2, а ∠AOD = 150°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 2, а ∠AOD = 150°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Показать ответ
б) 5
Решение
У описанной трапеции AD + BC = AB + CD, поэтому боковая сторона равна средней линии: AB = 2√5. Так как ∠A + ∠B = 180°, биссектрисы дают ∠AOD = 180° − ∠A, откуда ∠A = 30°. Тогда AD = m(1 + cos∠A), BC = m(1 − cos∠A), высота m·sin∠A, и AC = m·√(1 + sin2∠A) = 5.
Пример 3
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 135°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 135°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Показать ответ
б) 18
Решение
У описанной трапеции AD + BC = AB + CD, поэтому боковая сторона равна средней линии: AB = 6√6. Так как ∠A + ∠B = 180°, биссектрисы дают ∠AOD = 180° − ∠A, откуда ∠A = 45°. Тогда AD = m(1 + cos∠A), BC = m(1 − cos∠A), высота m·sin∠A, и AC = m·√(1 + sin2∠A) = 18.
Пример 4
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 150°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 6, а ∠AOD = 150°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Показать ответ
б) 15
Решение
У описанной трапеции AD + BC = AB + CD, поэтому боковая сторона равна средней линии: AB = 6√5. Так как ∠A + ∠B = 180°, биссектрисы дают ∠AOD = 180° − ∠A, откуда ∠A = 30°. Тогда AD = m(1 + cos∠A), BC = m(1 − cos∠A), высота m·sin∠A, и AC = m·√(1 + sin2∠A) = 15.
Пример 5
В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 12, а ∠AOD = 120°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.
б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна 12, а ∠AOD = 120°, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.
Показать ответ
б) 42
Решение
У описанной трапеции AD + BC = AB + CD, поэтому боковая сторона равна средней линии: AB = 12√7. Так как ∠A + ∠B = 180°, биссектрисы дают ∠AOD = 180° − ∠A, откуда ∠A = 60°. Тогда AD = m(1 + cos∠A), BC = m(1 − cos∠A), высота m·sin∠A, и AC = m·√(1 + sin2∠A) = 42.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE9Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB10Прямоугольная описанная трапеция: площадь11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.