Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC = 4.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 75° и BC = 4.
Показать ответ
б) 12
Решение
OQ — средняя линия трапеции ABCD... точнее, O и Q — середины боковых сторон, а OH и QD лежат на параллельных прямых, поэтому DQOH — параллелограмм. Расстояние от O до CD равно sin∠A·(AB·cos∠A + BC) и должно равняться радиусу AB/2; отсюда AB = 2·BC·sin∠A/(1 − sin 2∠A), а AD = BC·(1 + sin 2∠A)/(1 − sin 2∠A) = 12.
Пример 2
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 60° и BC = 1.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 60° и BC = 1.
Показать ответ
б) 7 + 4√3
Решение
OQ — средняя линия трапеции ABCD... точнее, O и Q — середины боковых сторон, а OH и QD лежат на параллельных прямых, поэтому DQOH — параллелограмм. Расстояние от O до CD равно sin∠A·(AB·cos∠A + BC) и должно равняться радиусу AB/2; отсюда AB = 2·BC·sin∠A/(1 − sin 2∠A), а AD = BC·(1 + sin 2∠A)/(1 − sin 2∠A) = 7 + 4√3.
Пример 3
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 15° и BC = 1.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 15° и BC = 1.
Показать ответ
б) 3
Решение
OQ — средняя линия трапеции ABCD... точнее, O и Q — середины боковых сторон, а OH и QD лежат на параллельных прямых, поэтому DQOH — параллелограмм. Расстояние от O до CD равно sin∠A·(AB·cos∠A + BC) и должно равняться радиусу AB/2; отсюда AB = 2·BC·sin∠A/(1 − sin 2∠A), а AD = BC·(1 + sin 2∠A)/(1 − sin 2∠A) = 3.
Пример 4
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 22,5° и BC = 6.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 22,5° и BC = 6.
Показать ответ
б) 18 + 12√2
Решение
OQ — средняя линия трапеции ABCD... точнее, O и Q — середины боковых сторон, а OH и QD лежат на параллельных прямых, поэтому DQOH — параллелограмм. Расстояние от O до CD равно sin∠A·(AB·cos∠A + BC) и должно равняться радиусу AB/2; отсюда AB = 2·BC·sin∠A/(1 − sin 2∠A), а AD = BC·(1 + sin 2∠A)/(1 − sin 2∠A) = 18 + 12√2.
Пример 5
Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 22,5° и BC = 12.
а) Докажите, что четырёхугольник DQOH — параллелограмм.
б) Найдите AD, если ∠BAD = 22,5° и BC = 12.
Показать ответ
б) 36 + 24√2
Решение
OQ — средняя линия трапеции ABCD... точнее, O и Q — середины боковых сторон, а OH и QD лежат на параллельных прямых, поэтому DQOH — параллелограмм. Расстояние от O до CD равно sin∠A·(AB·cos∠A + BC) и должно равняться радиусу AB/2; отсюда AB = 2·BC·sin∠A/(1 − sin 2∠A), а AD = BC·(1 + sin 2∠A)/(1 − sin 2∠A) = 36 + 24√2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу8Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE9Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB10Прямоугольная описанная трапеция: площадь11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.