Сумма оснований и диагонали: высота — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дана трапеция. Сумма оснований равна 20, диагонали 12 и 16.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Показать ответ
б) 48/5
Решение
Проведём через вершину прямую, параллельную диагонали AC: получится треугольник с катетами 12 и 16 и гипотенузой, равной сумме оснований, ведь 122 + 162 = 202. Значит диагонали перпендикулярны, а высота трапеции равна высоте этого треугольника: 12·16/20 = 48/5.
Пример 2
Дана трапеция. Сумма оснований равна 20, диагонали 16 и 12.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Показать ответ
б) 48/5
Решение
Проведём через вершину прямую, параллельную диагонали BD: получится треугольник с катетами 16 и 12 и гипотенузой, равной сумме оснований, ведь 162 + 122 = 202. Значит диагонали перпендикулярны, а высота трапеции равна высоте этого треугольника: 16·12/20 = 48/5.
Пример 3
Дана трапеция. Сумма оснований равна 25, диагонали 20 и 15.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Показать ответ
б) 12
Решение
Проведём через вершину прямую, параллельную диагонали BD: получится треугольник с катетами 20 и 15 и гипотенузой, равной сумме оснований, ведь 202 + 152 = 252. Значит диагонали перпендикулярны, а высота трапеции равна высоте этого треугольника: 20·15/25 = 12.
Пример 4
Дана трапеция. Сумма оснований равна 25, диагонали 7 и 24.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Показать ответ
б) 168/25
Решение
Проведём через вершину прямую, параллельную диагонали AC: получится треугольник с катетами 7 и 24 и гипотенузой, равной сумме оснований, ведь 72 + 242 = 252. Значит диагонали перпендикулярны, а высота трапеции равна высоте этого треугольника: 7·24/25 = 168/25.
Пример 5
Дана трапеция. Сумма оснований равна 17, диагонали 15 и 8.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
а) Докажите, что диагонали перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
Показать ответ
б) 120/17
Решение
Проведём через вершину прямую, параллельную диагонали BD: получится треугольник с катетами 15 и 8 и гипотенузой, равной сумме оснований, ведь 152 + 82 = 172. Значит диагонали перпендикулярны, а высота трапеции равна высоте этого треугольника: 15·8/17 = 120/17.
Другие темы задания №18
1Углы ABD и ACD прямые: найти AD2Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD3AD = 3BC: расстояние до середины диагонали4AD = 2BC: расстояние от C до середины OD5Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD6Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD7Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу8Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE9Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB10Прямоугольная описанная трапеция: площадь11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.