Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 12, а BC = 5BM.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 12, а BC = 5BM.
Показать ответ
б) 2160√5/11
Решение
Углы AMD и ACD опираются на диаметр, поэтому они прямые; отсюда ∠BAM = ∠CAD и BM·BC = AB2. Из BC = 5BM находим BM = 12 и BC = 60, значит AD = 72. Точка O делит диагонали в отношении AD : BC, и площадь треугольника AOB равна 2160√5/11.
Пример 2
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 9, а BC = 3BM.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 9, а BC = 3BM.
Показать ответ
б) 486√3/7
Решение
Углы AMD и ACD опираются на диаметр, поэтому они прямые; отсюда ∠BAM = ∠CAD и BM·BC = AB2. Из BC = 3BM находим BM = 9 и BC = 27, значит AD = 36. Точка O делит диагонали в отношении AD : BC, и площадь треугольника AOB равна 486√3/7.
Пример 3
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = , а BC = 2BM.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = , а BC = 2BM.
Показать ответ
б) 3√2/5
Решение
Углы AMD и ACD опираются на диаметр, поэтому они прямые; отсюда ∠BAM = ∠CAD и BM·BC = AB2. Из BC = 2BM находим BM = 1 и BC = 2, значит AD = 3. Точка O делит диагонали в отношении AD : BC, и площадь треугольника AOB равна 3√2/5.
Пример 4
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 22, а BC = 4BM.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 22, а BC = 4BM.
Показать ответ
б) 2420/9
Решение
Углы AMD и ACD опираются на диаметр, поэтому они прямые; отсюда ∠BAM = ∠CAD и BM·BC = AB2. Из BC = 4BM находим BM = 11 и BC = 44, значит AD = 55. Точка O делит диагонали в отношении AD : BC, и площадь треугольника AOB равна 2420/9.
Пример 5
В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 6, а BC = 2BM.
а) Докажите, что ∠BAM = ∠CAD.
б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 6, а BC = 2BM.
Показать ответ
б) 108√2/5
Решение
Углы AMD и ACD опираются на диаметр, поэтому они прямые; отсюда ∠BAM = ∠CAD и BM·BC = AB2. Из BC = 2BM находим BM = 6 и BC = 12, значит AD = 18. Точка O делит диагонали в отношении AD : BC, и площадь треугольника AOB равна 108√2/5.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Прямоугольная описанная трапеция: площадь11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.