Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике с ответами

Пример 1

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 60 и BD = 30,5.

Показать ответ

б) 11

Решение

Из условия AB = BD и CB = BD, поэтому точка B равноудалена от A, C и D — она центр окружности радиуса BD, на которой лежат A, C, D. Треугольник ABC равнобедренный, а BC ∥ AD, значит ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD, то есть AC — биссектриса. Далее CD² = 4BD² − AC² = 11².

Пример 2

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 40 и BD = 20,5.

Показать ответ

б) 9

Решение

Из условия AB = BD и CB = BD, поэтому точка B равноудалена от A, C и D — она центр окружности радиуса BD, на которой лежат A, C, D. Треугольник ABC равнобедренный, а BC ∥ AD, значит ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD, то есть AC — биссектриса. Далее CD² = 4BD² − AC² = 9².

Пример 3

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 4 и BD = 2,5.

Показать ответ

б) 3

Решение

Из условия AB = BD и CB = BD, поэтому точка B равноудалена от A, C и D — она центр окружности радиуса BD, на которой лежат A, C, D. Треугольник ABC равнобедренный, а BC ∥ AD, значит ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD, то есть AC — биссектриса. Далее CD² = 4BD² − AC² = 3².

Пример 4

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 35 и BD = 18,5.

Показать ответ

б) 12

Решение

Из условия AB = BD и CB = BD, поэтому точка B равноудалена от A, C и D — она центр окружности радиуса BD, на которой лежат A, C, D. Треугольник ABC равнобедренный, а BC ∥ AD, значит ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD, то есть AC — биссектриса. Далее CD² = 4BD² − AC² = 12².

Пример 5

Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD.

а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD.
б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции: AC = 63 и BD = 32,5.

Показать ответ

б) 16

Решение

Из условия AB = BD и CB = BD, поэтому точка B равноудалена от A, C и D — она центр окружности радиуса BD, на которой лежат A, C, D. Треугольник ABC равнобедренный, а BC ∥ AD, значит ∠BAC = ∠BCA = ∠CAD, то есть AC — биссектриса. Далее CD² = 4BD² − AC² = 16².

Другие темы задания №18

1Сумма оснований и диагонали: высота 2Углы ABD и ACD прямые: найти AD 3AD = 3BC: расстояние до середины диагонали 4AD = 2BC: расстояние от C до середины OD 5Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD 6Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD 7Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу 8Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE 9Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB 10Прямоугольная описанная трапеция: площадь 11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD 12BH ∥ ED: отношение BH к ED

Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Другие темы задания №18

Нужен репетитор по математике?

Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore