Углы ABD и ACD прямые: найти AD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 10, BC = 10.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 10, BC = 10.
Показать ответ
б) 20
Решение
Точки B и C видят отрезок AD под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром AD; вместе с BC ∥ AD это даёт равнобокую трапецию и AB = CD. Обозначив AD = 2R, из AB2 = (R − BC/2)2 + (R2 − BC2/4) получаем 2R2 − 10R − 102 = 0, откуда AD = 20.
Пример 2
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 3, BC = 7.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 3, BC = 7.
Показать ответ
б) 9
Решение
Точки B и C видят отрезок AD под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром AD; вместе с BC ∥ AD это даёт равнобокую трапецию и AB = CD. Обозначив AD = 2R, из AB2 = (R − BC/2)2 + (R2 − BC2/4) получаем 2R2 − 7R − 32 = 0, откуда AD = 9.
Пример 3
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 8, BC = 8.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 8, BC = 8.
Показать ответ
б) 16
Решение
Точки B и C видят отрезок AD под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром AD; вместе с BC ∥ AD это даёт равнобокую трапецию и AB = CD. Обозначив AD = 2R, из AB2 = (R − BC/2)2 + (R2 − BC2/4) получаем 2R2 − 8R − 82 = 0, откуда AD = 16.
Пример 4
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 3, BC = 3.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 3, BC = 3.
Показать ответ
б) 6
Решение
Точки B и C видят отрезок AD под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром AD; вместе с BC ∥ AD это даёт равнобокую трапецию и AB = CD. Обозначив AD = 2R, из AB2 = (R − BC/2)2 + (R2 − BC2/4) получаем 2R2 − 3R − 32 = 0, откуда AD = 6.
Пример 5
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD углы ABD и ACD прямые.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 2.
а) Докажите, что AB = CD.
б) Найдите AD, если AB = 2, BC = 2.
Показать ответ
б) 4
Решение
Точки B и C видят отрезок AD под прямым углом, значит лежат на окружности с диаметром AD; вместе с BC ∥ AD это даёт равнобокую трапецию и AB = CD. Обозначив AD = 2R, из AB2 = (R − BC/2)2 + (R2 − BC2/4) получаем 2R2 − 2R − 22 = 0, откуда AD = 4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD3AD = 3BC: расстояние до середины диагонали4AD = 2BC: расстояние от C до середины OD5Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD6Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD7Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу8Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE9Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB10Прямоугольная описанная трапеция: площадь11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.