Прямоугольная описанная трапеция: площадь — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 18 и 36.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 18 и 36.
Показать ответ
б) 648
Решение
Углы AOD и BOC прямые (каждый образован биссектрисами углов, сумма которых 180°), поэтому их синусы равны. Из AD + BC = AB + CD и CD = √(AB2 + (AD − BC)2) находим высоту AB = 2·18·36/(18 + 36) = 24, а площадь равна 18·36 = 648.
Пример 2
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 6 и 30.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 6 и 30.
Показать ответ
б) 180
Решение
Углы AOD и BOC прямые (каждый образован биссектрисами углов, сумма которых 180°), поэтому их синусы равны. Из AD + BC = AB + CD и CD = √(AB2 + (AD − BC)2) находим высоту AB = 2·6·30/(6 + 30) = 10, а площадь равна 6·30 = 180.
Пример 3
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 17 и 34.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 17 и 34.
Показать ответ
б) 578
Решение
Углы AOD и BOC прямые (каждый образован биссектрисами углов, сумма которых 180°), поэтому их синусы равны. Из AD + BC = AB + CD и CD = √(AB2 + (AD − BC)2) находим высоту AB = 2·17·34/(17 + 34) = 68/3, а площадь равна 17·34 = 578.
Пример 4
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 6 и 21.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 6 и 21.
Показать ответ
б) 126
Решение
Углы AOD и BOC прямые (каждый образован биссектрисами углов, сумма которых 180°), поэтому их синусы равны. Из AD + BC = AB + CD и CD = √(AB2 + (AD − BC)2) находим высоту AB = 2·6·21/(6 + 21) = 28/3, а площадь равна 6·21 = 126.
Пример 5
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 8 и 16.
а) Докажите, что sin∠AOD = sin∠BOC.
б) Найдите площадь трапеции, если ∠BAD = 90°, а основания равны 8 и 16.
Показать ответ
б) 128
Решение
Углы AOD и BOC прямые (каждый образован биссектрисами углов, сумма которых 180°), поэтому их синусы равны. Из AD + BC = AB + CD и CD = √(AB2 + (AD − BC)2) находим высоту AB = 2·8·16/(8 + 16) = 32/3, а площадь равна 8·16 = 128.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD12BH ∥ ED: отношение BH к ED
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.