AH = AO: площадь треугольника AHO — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 4, ∠ABC = 45°.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 4, ∠ABC = 45°.
Показать ответ
б) 4
Решение
AH = 2R·cos∠A = R при ∠A = 60°, а AO = R, поэтому AH = AO. Угол между AH и AO равен |∠B − ∠C| = 30°, значит площадь равна ½R2·sin|∠B − ∠C| = 4.
Пример 2
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 75°.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 75°.
Показать ответ
б) 3/4
Решение
AH = 2R·cos∠A = R при ∠A = 60°, а AO = R, поэтому AH = AO. Угол между AH и AO равен |∠B − ∠C| = 30°, значит площадь равна ½R2·sin|∠B − ∠C| = 3/4.
Пример 3
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 7, ∠ABC = 45°.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 7, ∠ABC = 45°.
Показать ответ
б) 49/4
Решение
AH = 2R·cos∠A = R при ∠A = 60°, а AO = R, поэтому AH = AO. Угол между AH и AO равен |∠B − ∠C| = 30°, значит площадь равна ½R2·sin|∠B − ∠C| = 49/4.
Пример 4
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 20, ∠ABC = 75°.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 20, ∠ABC = 75°.
Показать ответ
б) 100/3
Решение
AH = 2R·cos∠A = R при ∠A = 60°, а AO = R, поэтому AH = AO. Угол между AH и AO равен |∠B − ∠C| = 30°, значит площадь равна ½R2·sin|∠B − ∠C| = 100/3.
Пример 5
В остроугольном треугольнике ABC угол A равен 60°. Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 45°.
а) Докажите, что AH = AO.
б) Найдите площадь треугольника AHO, если BC = 3, ∠ABC = 45°.
Показать ответ
б) 3/4
Решение
AH = 2R·cos∠A = R при ∠A = 60°, а AO = R, поэтому AH = AO. Угол между AH и AO равен |∠B − ∠C| = 30°, значит площадь равна ½R2·sin|∠B − ∠C| = 3/4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.