AH и угол A: найти BC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 11 и ∠BAC = 30°.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 11 и ∠BAC = 30°.
Показать ответ
б) 11
Решение
В прямоугольном треугольнике AHB1 угол при вершине H дополняет ∠B1AH до 90°, как и ∠ACB, поэтому эти углы равны. Далее AH = 2R·cos∠A и BC = 2R·sin∠A, значит BC = AH·tg∠A = 11.
Пример 2
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 26 и ∠BAC = 60°.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 26 и ∠BAC = 60°.
Показать ответ
б) 26√3
Решение
В прямоугольном треугольнике AHB1 угол при вершине H дополняет ∠B1AH до 90°, как и ∠ACB, поэтому эти углы равны. Далее AH = 2R·cos∠A и BC = 2R·sin∠A, значит BC = AH·tg∠A = 26√3.
Пример 3
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 3 и ∠BAC = 45°.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 3 и ∠BAC = 45°.
Показать ответ
б) 3
Решение
В прямоугольном треугольнике AHB1 угол при вершине H дополняет ∠B1AH до 90°, как и ∠ACB, поэтому эти углы равны. Далее AH = 2R·cos∠A и BC = 2R·sin∠A, значит BC = AH·tg∠A = 3.
Пример 4
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
Показать ответ
б) 12
Решение
В прямоугольном треугольнике AHB1 угол при вершине H дополняет ∠B1AH до 90°, как и ∠ACB, поэтому эти углы равны. Далее AH = 2R·cos∠A и BC = 2R·sin∠A, значит BC = AH·tg∠A = 12.
Пример 5
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 28 и ∠BAC = 30°.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 28 и ∠BAC = 30°.
Показать ответ
б) 28√3/3
Решение
В прямоугольном треугольнике AHB1 угол при вершине H дополняет ∠B1AH до 90°, как и ∠ACB, поэтому эти углы равны. Далее AH = 2R·cos∠A и BC = 2R·sin∠A, значит BC = AH·tg∠A = 28√3/3.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.