B₁C₁ и угол A: расстояние от центра описанной до BC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике с ответами

Пример 1

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁ = 8 и ∠BAC = 30°.

Показать ответ

б) 8

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому треугольник AB₁C₁ подобен ABC и B₁C₁ = BC·cos∠A. Расстояние от центра описанной окружности до BC равно R·cos∠A, а BC = 2R·sin∠A, откуда искомое расстояние равно B₁C₁/(2 sin∠A) = 8.

Пример 2

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁ = 14 и ∠BAC = 30°.

Показать ответ

б) 14

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому треугольник AB₁C₁ подобен ABC и B₁C₁ = BC·cos∠A. Расстояние от центра описанной окружности до BC равно R·cos∠A, а BC = 2R·sin∠A, откуда искомое расстояние равно B₁C₁/(2 sin∠A) = 14.

Пример 3

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁ = 7 и ∠BAC = 30°.

Показать ответ

б) 7√3

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому треугольник AB₁C₁ подобен ABC и B₁C₁ = BC·cos∠A. Расстояние от центра описанной окружности до BC равно R·cos∠A, а BC = 2R·sin∠A, откуда искомое расстояние равно B₁C₁/(2 sin∠A) = 7√3.

Пример 4

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁ = 16 и ∠BAC = 60°.

Показать ответ

б) 16√3/3

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому треугольник AB₁C₁ подобен ABC и B₁C₁ = BC·cos∠A. Расстояние от центра описанной окружности до BC равно R·cos∠A, а BC = 2R·sin∠A, откуда искомое расстояние равно B₁C₁/(2 sin∠A) = 16√3/3.

Пример 5

Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠BB₁C₁ = ∠BAH.
б) Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если B₁C₁ = 6 и ∠BAC = 60°.

Показать ответ

б) 6

Решение

Точки B₁ и C₁ лежат на окружности с диаметром BC, поэтому треугольник AB₁C₁ подобен ABC и B₁C₁ = BC·cos∠A. Расстояние от центра описанной окружности до BC равно R·cos∠A, а BC = 2R·sin∠A, откуда искомое расстояние равно B₁C₁/(2 sin∠A) = 6.

Другие темы задания №18

1Сумма оснований и диагонали: высота 2Углы ABD и ACD прямые: найти AD 3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD 4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали 5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD 6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD 7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD 8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу 9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE 10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB 11Прямоугольная описанная трапеция: площадь 12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD

B₁C₁ и угол A: расстояние от центра описанной до BC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Другие темы задания №18

Нужен репетитор по математике?

Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore