B, C, M, N на одной окружности: площадь AMPN — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 5 : 11, а BN = 24.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 5 : 11, а BN = 24.
Показать ответ
б) 264
Решение
Из вписанности BCMN следует равенство углов при основании, то есть AB = AC. Тогда MN ∥ BC и MN : BC = AM : AC = AB/(AB + BC), откуда BC = 264/5, AB = AC = 44. Площадь четырёхугольника AMPN равна 264.
Пример 2
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 5 : 8, а BN = 22.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 5 : 8, а BN = 22.
Показать ответ
б) 1936√91/39
Решение
Из вписанности BCMN следует равенство углов при основании, то есть AB = AC. Тогда MN ∥ BC и MN : BC = AM : AC = AB/(AB + BC), откуда BC = 176/5, AB = AC = 176/3. Площадь четырёхугольника AMPN равна 1936√91/39.
Пример 3
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 3 : 5, а BN = 14.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 3 : 5, а BN = 14.
Показать ответ
б) 245√2/2
Решение
Из вписанности BCMN следует равенство углов при основании, то есть AB = AC. Тогда MN ∥ BC и MN : BC = AM : AC = AB/(AB + BC), откуда BC = 70/3, AB = AC = 35. Площадь четырёхугольника AMPN равна 245√2/2.
Пример 4
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 4, а BN = 26.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 2 : 4, а BN = 26.
Показать ответ
б) 676√3/3
Решение
Из вписанности BCMN следует равенство углов при основании, то есть AB = AC. Тогда MN ∥ BC и MN : BC = AM : AC = AB/(AB + BC), откуда BC = 52, AB = AC = 52. Площадь четырёхугольника AMPN равна 676√3/3.
Пример 5
В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 3 : 7, а BN = 22.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если MN : BC = 3 : 7, а BN = 22.
Показать ответ
б) 847√5/10
Решение
Из вписанности BCMN следует равенство углов при основании, то есть AB = AC. Тогда MN ∥ BC и MN : BC = AM : AC = AB/(AB + BC), откуда BC = 154/3, AB = AC = 77/2. Площадь четырёхугольника AMPN равна 847√5/10.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.