Биссектриса и средняя линия: отношение площадей — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 513.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 513.
Показать ответ
б) 13:16
Решение
MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и ∠MLA = ∠LAC = ∠LAM, значит треугольник AML равнобедренный: ML = MA = MB. Отсюда ∠MLB = ∠MBL и треугольники AML и BLC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 13:16.
Пример 2
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 35.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 35.
Показать ответ
б) 5:4
Решение
MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и ∠MLA = ∠LAC = ∠LAM, значит треугольник AML равнобедренный: ML = MA = MB. Отсюда ∠MLB = ∠MBL и треугольники AML и BLC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 5:4.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 1237.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 1237.
Показать ответ
б) 37:50
Решение
MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и ∠MLA = ∠LAC = ∠LAM, значит треугольник AML равнобедренный: ML = MA = MB. Отсюда ∠MLB = ∠MBL и треугольники AML и BLC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 37:50.
Пример 4
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 941.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 941.
Показать ответ
б) 41:64
Решение
MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и ∠MLA = ∠LAC = ∠LAM, значит треугольник AML равнобедренный: ML = MA = MB. Отсюда ∠MLB = ∠MBL и треугольники AML и BLC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 41:64.
Пример 5
В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 725.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos∠BAC = 725.
Показать ответ
б) 25:36
Решение
MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC и ∠MLA = ∠LAC = ∠LAM, значит треугольник AML равнобедренный: ML = MA = MB. Отсюда ∠MLB = ∠MBL и треугольники AML и BLC подобны. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия и равно 25:36.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.