Биссектриса угла параллелограмма: найти угол BAD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 18 и KT = 9.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 18 и KT = 9.
Показать ответ
б) 60°
Решение
Из AB ∥ DC следует ∠ADE = ∠DEA, поэтому AD = AE и треугольник ADE равнобедренный; тогда AK = AT, треугольник AKT равнобедренный с той же вершиной, и KT ∥ DE. Если ∠A = α, то DE = 2·AD·sin(α/2), AK = AD − DE/2, и KT = 2AK·sin(α/2) = DE(2AD − DE)/(2AD). Из KT = AD/2 получаем DE = AD, то есть sin(α/2) = ½ и α = 60°.
Пример 2
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 28 и KT = 14.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 28 и KT = 14.
Показать ответ
б) 60°
Решение
Из AB ∥ DC следует ∠ADE = ∠DEA, поэтому AD = AE и треугольник ADE равнобедренный; тогда AK = AT, треугольник AKT равнобедренный с той же вершиной, и KT ∥ DE. Если ∠A = α, то DE = 2·AD·sin(α/2), AK = AD − DE/2, и KT = 2AK·sin(α/2) = DE(2AD − DE)/(2AD). Из KT = AD/2 получаем DE = AD, то есть sin(α/2) = ½ и α = 60°.
Пример 3
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 24 и KT = 12.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 24 и KT = 12.
Показать ответ
б) 60°
Решение
Из AB ∥ DC следует ∠ADE = ∠DEA, поэтому AD = AE и треугольник ADE равнобедренный; тогда AK = AT, треугольник AKT равнобедренный с той же вершиной, и KT ∥ DE. Если ∠A = α, то DE = 2·AD·sin(α/2), AK = AD − DE/2, и KT = 2AK·sin(α/2) = DE(2AD − DE)/(2AD). Из KT = AD/2 получаем DE = AD, то есть sin(α/2) = ½ и α = 60°.
Пример 4
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 36 и KT = 18.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 36 и KT = 18.
Показать ответ
б) 60°
Решение
Из AB ∥ DC следует ∠ADE = ∠DEA, поэтому AD = AE и треугольник ADE равнобедренный; тогда AK = AT, треугольник AKT равнобедренный с той же вершиной, и KT ∥ DE. Если ∠A = α, то DE = 2·AD·sin(α/2), AK = AD − DE/2, и KT = 2AK·sin(α/2) = DE(2AD − DE)/(2AD). Из KT = AD/2 получаем DE = AD, то есть sin(α/2) = ½ и α = 60°.
Пример 5
Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 26 и KT = 13.
а) Докажите, что KT ∥ DE.
б) Найдите угол BAD, если сторона AD = 26 и KT = 13.
Показать ответ
б) 60°
Решение
Из AB ∥ DC следует ∠ADE = ∠DEA, поэтому AD = AE и треугольник ADE равнобедренный; тогда AK = AT, треугольник AKT равнобедренный с той же вершиной, и KT ∥ DE. Если ∠A = α, то DE = 2·AD·sin(α/2), AK = AD − DE/2, и KT = 2AK·sin(α/2) = DE(2AD − DE)/(2AD). Из KT = AD/2 получаем DE = AD, то есть sin(α/2) = ½ и α = 60°.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.