Диаметр BN: расстояние от N до AC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 7, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 75°.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 7, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 75°.
Показать ответ
б) 7√6/2
Решение
Угол BKN опирается на диаметр, поэтому NK ⊥ BK, а BK ⊥ AC, значит NK ∥ AC. Расстояние от N до AC равно 7√6/2.
Пример 2
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 7, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 105°.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 7, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 105°.
Показать ответ
б) 7√3
Решение
Угол BKN опирается на диаметр, поэтому NK ⊥ BK, а BK ⊥ AC, значит NK ∥ AC. Расстояние от N до AC равно 7√3.
Пример 3
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6, ∠BAC = 60°, ∠ABC = 75°.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6, ∠BAC = 60°, ∠ABC = 75°.
Показать ответ
б) 3√2
Решение
Угол BKN опирается на диаметр, поэтому NK ⊥ BK, а BK ⊥ AC, значит NK ∥ AC. Расстояние от N до AC равно 3√2.
Пример 4
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 16, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 105°.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 16, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 105°.
Показать ответ
б) 8√6
Решение
Угол BKN опирается на диаметр, поэтому NK ⊥ BK, а BK ⊥ AC, значит NK ∥ AC. Расстояние от N до AC равно 8√6.
Пример 5
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 75°.
а) Докажите, что AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, ∠BAC = 45°, ∠ABC = 75°.
Показать ответ
б) 2√2
Решение
Угол BKN опирается на диаметр, поэтому NK ⊥ BK, а BK ⊥ AC, значит NK ∥ AC. Расстояние от N до AC равно 2√2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.