Два прямых угла: угол между диагоналями — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанный четырёхугольник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 25, BC = 60, CD = 39, AD = 52 и AC = 65.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите угол между его диагоналями.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите угол между его диагоналями.
Показать ответ
б) arctg (56/33)
Решение
Так как AB2 + BC2 = AC2 и AD2 + CD2 = AC2, углы ABC и ADC прямые, их сумма равна 180°, значит около ABCD можно описать окружность с диаметром AC. Угол между диагоналями равен arctg (56/33).
Пример 2
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 30, BC = 40, CD = 14, AD = 48 и AC = 50.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите угол между его диагоналями.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите угол между его диагоналями.
Показать ответ
б) arctg (4/3)
Решение
Так как AB2 + BC2 = AC2 и AD2 + CD2 = AC2, углы ABC и ADC прямые, их сумма равна 180°, значит около ABCD можно описать окружность с диаметром AC. Угол между диагоналями равен arctg (4/3).
Пример 3
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 33, BC = 56, CD = 39, AD = 52 и AC = 65.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
Показать ответ
б) 5/13
Решение
Так как AB2 + BC2 = AC2 и AD2 + CD2 = AC2, углы ABC и ADC прямые, их сумма равна 180°, значит около ABCD можно описать окружность с диаметром AC. Угол между диагоналями равен arctg (12/5).
Пример 4
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 15, BC = 20, CD = 7, AD = 24 и AC = 25.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
Показать ответ
б) 3/5
Решение
Так как AB2 + BC2 = AC2 и AD2 + CD2 = AC2, углы ABC и ADC прямые, их сумма равна 180°, значит около ABCD можно описать окружность с диаметром AC. Угол между диагоналями равен arctg (4/3).
Пример 5
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 33, BC = 56, CD = 25, AD = 60 и AC = 65.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.
б) Найдите косинус угла между его диагоналями.
Показать ответ
б) 3/5
Решение
Так как AB2 + BC2 = AC2 и AD2 + CD2 = AC2, углы ABC и ADC прямые, их сумма равна 180°, значит около ABCD можно описать окружность с диаметром AC. Угол между диагоналями равен arctg (4/3).
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.