Две окружности в прямоугольном треугольнике: радиус — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 20, BC = 15. Окружность радиуса 2,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Показать ответ
б) 40/9
Решение
Центр второй окружности удалён от AC на её радиус r, поэтому имеет координаты (r; y). Из внешнего касания (r + 2,5)2 = (r − 2,5)2 + y2 находим y = 2√(2,5r), а из касания гипотенузы получаем уравнение на r; его решение r = 40/9.
Пример 2
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 16, BC = 12. Окружность радиуса 1 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 13 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 13 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Показать ответ
б) 4
Решение
Центр второй окружности удалён от AC на её радиус r, поэтому имеет координаты (r; y). Из внешнего касания (r + 1)2 = (r − 1)2 + y2 находим y = 2√(r), а из касания гипотенузы получаем уравнение на r; его решение r = 4.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 4, BC = 3. Окружность радиуса 0,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Показать ответ
б) 8/9
Решение
Центр второй окружности удалён от AC на её радиус r, поэтому имеет координаты (r; y). Из внешнего касания (r + 0,5)2 = (r − 0,5)2 + y2 находим y = 2√(0,5r), а из касания гипотенузы получаем уравнение на r; его решение r = 8/9.
Пример 4
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 15, BC = 8. Окружность радиуса 0,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 14 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Показать ответ
б) 25/8
Решение
Центр второй окружности удалён от AC на её радиус r, поэтому имеет координаты (r; y). Из внешнего касания (r + 0,5)2 = (r − 0,5)2 + y2 находим y = 2√(0,5r), а из касания гипотенузы получаем уравнение на r; его решение r = 25/8.
Пример 5
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны стороны AC = 8, BC = 6. Окружность радиуса 0,5 с центром O на стороне BC проходит через вершину C. Вторая окружность касается катета AC, гипотенузы треугольника, а также внешним образом касается первой окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 13 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
а) Докажите, что радиус второй окружности меньше 13 длины катета AC.
б) Найдите радиус второй окружности.
Показать ответ
б) 2
Решение
Центр второй окружности удалён от AC на её радиус r, поэтому имеет координаты (r; y). Из внешнего касания (r + 0,5)2 = (r − 0,5)2 + y2 находим y = 2√(0,5r), а из касания гипотенузы получаем уравнение на r; его решение r = 2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.