Две перпендикулярные биссектрисы: найти PQ — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанные прямоугольники и квадраты. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 5, а AC = 8.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 5, а AC = 8.
Показать ответ
б) 80/13
Решение
Углы ACB и NCM прямые и лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому их биссектрисы образуют угол 45° + 45° = 90°. В координатах C(0; 0), A(8; 0), B(0; 5) биссектрисы задаются направлениями (1; 1) и (1; −1), откуда PQ = 80/13.
Пример 2
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 6, а AC = 5.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 6, а AC = 5.
Показать ответ
б) 60/11
Решение
Углы ACB и NCM прямые и лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому их биссектрисы образуют угол 45° + 45° = 90°. В координатах C(0; 0), A(5; 0), B(0; 6) биссектрисы задаются направлениями (1; 1) и (1; −1), откуда PQ = 60/11.
Пример 3
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 14, а AC = 8.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 14, а AC = 8.
Показать ответ
б) 112/11
Решение
Углы ACB и NCM прямые и лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому их биссектрисы образуют угол 45° + 45° = 90°. В координатах C(0; 0), A(8; 0), B(0; 14) биссектрисы задаются направлениями (1; 1) и (1; −1), откуда PQ = 112/11.
Пример 4
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 8, а AC = 16.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 8, а AC = 16.
Показать ответ
б) 32/3
Решение
Углы ACB и NCM прямые и лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому их биссектрисы образуют угол 45° + 45° = 90°. В координатах C(0; 0), A(16; 0), B(0; 8) биссектрисы задаются направлениями (1; 1) и (1; −1), откуда PQ = 32/3.
Пример 5
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC. Отрезки CP и CQ — биссектрисы треугольников ACB и NCM соответственно.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 11, а AC = 17.
а) Докажите, что CP и CQ перпендикулярны.
б) Найдите PQ, если BC = 11, а AC = 17.
Показать ответ
б) 187/14
Решение
Углы ACB и NCM прямые и лежат по разные стороны от прямой AC, поэтому их биссектрисы образуют угол 45° + 45° = 90°. В координатах C(0; 0), A(17; 0), B(0; 11) биссектрисы задаются направлениями (1; 1) и (1; −1), откуда PQ = 187/14.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.