Две вписанные окружности: площадь трапеции — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 43 и 13.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 43 и 13.
Показать ответ
б) 116/7
Решение
Центры лежат на биссектрисе угла между боковыми сторонами; из условия касания окружностей высота трапеции равна r1 + r2 + 2√(r1r2) = 3. Дальше находятся основания, и площадь равна 116/7.
Пример 2
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 4 и 1.
Показать ответ
б) 1044/7
Решение
Центры лежат на биссектрисе угла между боковыми сторонами; из условия касания окружностей высота трапеции равна r1 + r2 + 2√(r1r2) = 9. Дальше находятся основания, и площадь равна 1044/7.
Пример 3
В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая — боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 83 и 23.
а) Докажите, что прямая, проходящая через центры окружностей, пересекает основание AD в точке P, для которой APPD = sin D.
б) Найдите площадь трапеции, если радиусы окружностей равны 83 и 23.
Показать ответ
б) 464/7
Решение
Центры лежат на биссектрисе угла между боковыми сторонами; из условия касания окружностей высота трапеции равна r1 + r2 + 2√(r1r2) = 6. Дальше находятся основания, и площадь равна 464/7.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.