Две высоты: отношение площадей BMN и ABC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 3 : 5 и cos∠BAC = 23.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Показать ответ
б) 5:72
Решение
Из AM = AB·cos∠A находим AB, а из AN = AC·cos∠A — положение точки N: она оказывается вне отрезка AB, что и означает тупой угол ABC. Треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом cos∠A, отсюда отношение площадей BMN и ABC равно 5:72.
Пример 2
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 1 : 2 и cos∠BAC = 23.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Показать ответ
б) 1:9
Решение
Из AM = AB·cos∠A находим AB, а из AN = AC·cos∠A — положение точки N: она оказывается вне отрезка AB, что и означает тупой угол ABC. Треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом cos∠A, отсюда отношение площадей BMN и ABC равно 1:9.
Пример 3
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 1 : 2 и cos∠BAC = 35.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Показать ответ
б) 2:75
Решение
Из AM = AB·cos∠A находим AB, а из AN = AC·cos∠A — положение точки N: она оказывается вне отрезка AB, что и означает тупой угол ABC. Треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом cos∠A, отсюда отношение площадей BMN и ABC равно 2:75.
Пример 4
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 3 : 7 и cos∠BAC = 2.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Показать ответ
б) 9:20
Решение
Из AM = AB·cos∠A находим AB, а из AN = AC·cos∠A — положение точки N: она оказывается вне отрезка AB, что и означает тупой угол ABC. Треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом cos∠A, отсюда отношение площадей BMN и ABC равно 9:20.
Пример 5
В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причём AM : CM = 2 : 3 и cos∠BAC = 45.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
а) Докажите, что угол ABC тупой.
б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC.
Показать ответ
б) 6:25
Решение
Из AM = AB·cos∠A находим AB, а из AN = AC·cos∠A — положение точки N: она оказывается вне отрезка AB, что и означает тупой угол ABC. Треугольник AMN подобен ABC с коэффициентом cos∠A, отсюда отношение площадей BMN и ABC равно 6:25.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.