Квадрат в треугольнике: найти AQ — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанные прямоугольники и квадраты. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N — на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 18.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 18.
Показать ответ
б) 54√13/5
Решение
Из CD = DO = OH следует CH = 3·KL/2, а для вписанного квадрата KL = AB·CH/(AB + CH); отсюда AB = 3·KL и CH = AB/2 — медиана к AB равна её половине, значит угол C прямой, а треугольник равнобедренный. Дальше по координатам AQ = 54√13/5.
Пример 2
Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N — на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 20.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 20.
Показать ответ
б) 12√13
Решение
Из CD = DO = OH следует CH = 3·KL/2, а для вписанного квадрата KL = AB·CH/(AB + CH); отсюда AB = 3·KL и CH = AB/2 — медиана к AB равна её половине, значит угол C прямой, а треугольник равнобедренный. Дальше по координатам AQ = 12√13.
Пример 3
Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N — на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 16.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 16.
Показать ответ
б) 48√13/5
Решение
Из CD = DO = OH следует CH = 3·KL/2, а для вписанного квадрата KL = AB·CH/(AB + CH); отсюда AB = 3·KL и CH = AB/2 — медиана к AB равна её половине, значит угол C прямой, а треугольник равнобедренный. Дальше по координатам AQ = 48√13/5.
Пример 4
Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N — на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 6.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 6.
Показать ответ
б) 18√13/5
Решение
Из CD = DO = OH следует CH = 3·KL/2, а для вписанного квадрата KL = AB·CH/(AB + CH); отсюда AB = 3·KL и CH = AB/2 — медиана к AB равна её половине, значит угол C прямой, а треугольник равнобедренный. Дальше по координатам AQ = 18√13/5.
Пример 5
Вершины K и L квадрата KLMN с центром O лежат на стороне AB треугольника ABC, а вершины M и N — на сторонах BC и AC соответственно. Высота CH треугольника ABC проходит через точку O и пересекает отрезок MN в точке D, причём CD = DO = OH.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 14.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный.
б) Пусть прямая AD пересекает сторону BC в точке Q. Найдите AQ, если сторона квадрата KL = 14.
Показать ответ
б) 42√13/5
Решение
Из CD = DO = OH следует CH = 3·KL/2, а для вписанного квадрата KL = AB·CH/(AB + CH); отсюда AB = 3·KL и CH = AB/2 — медиана к AB равна её половине, значит угол C прямой, а треугольник равнобедренный. Дальше по координатам AQ = 42√13/5.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.