Окружность через B и C: найти PM — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Трапеция. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 12, BC = 2, CD = 13, AD = 7.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 12, BC = 2, CD = 13, AD = 7.
Показать ответ
б) √22
Решение
Из вписанности BPQC следует ∠MPQ = ∠BCQ, а MN ∥ BC даёт ∠MNQ = 180° − ∠BCQ, поэтому MNQP вписанный. Условие AQ ⊥ BQ означает, что Q лежит на окружности с диаметром AB; по степени точки M получаем MP·MB = MQ·MN, откуда PM = √22.
Пример 2
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 20, BC = 3, CD = 25, AD = 18.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 20, BC = 3, CD = 25, AD = 18.
Показать ответ
б) √46
Решение
Из вписанности BPQC следует ∠MPQ = ∠BCQ, а MN ∥ BC даёт ∠MNQ = 180° − ∠BCQ, поэтому MNQP вписанный. Условие AQ ⊥ BQ означает, что Q лежит на окружности с диаметром AB; по степени точки M получаем MP·MB = MQ·MN, откуда PM = √46.
Пример 3
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 16, BC = 3, CD = 20, AD = 15.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 16, BC = 3, CD = 20, AD = 15.
Показать ответ
б) √19
Решение
Из вписанности BPQC следует ∠MPQ = ∠BCQ, а MN ∥ BC даёт ∠MNQ = 180° − ∠BCQ, поэтому MNQP вписанный. Условие AQ ⊥ BQ означает, что Q лежит на окружности с диаметром AB; по степени точки M получаем MP·MB = MQ·MN, откуда PM = √19.
Пример 4
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 24, BC = 7, CD = 25, AD = 14.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 24, BC = 7, CD = 25, AD = 14.
Показать ответ
б) √46
Решение
Из вписанности BPQC следует ∠MPQ = ∠BCQ, а MN ∥ BC даёт ∠MNQ = 180° − ∠BCQ, поэтому MNQP вписанный. Условие AQ ⊥ BQ означает, что Q лежит на окружности с диаметром AB; по степени точки M получаем MP·MB = MQ·MN, откуда PM = √46.
Пример 5
Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и N — середины сторон AB и CD соответственно. Окружность проходит через точки B и C и пересекает отрезки BM и CN в точках P и Q, отличных от концов отрезка, соответственно.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 20, BC = 1, CD = 25, AD = 16.
а) Докажите, что точки M, N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите PM, если отрезки AQ и BQ перпендикулярны, AB = 20, BC = 1, CD = 25, AD = 16.
Показать ответ
б) 2√21
Решение
Из вписанности BPQC следует ∠MPQ = ∠BCQ, а MN ∥ BC даёт ∠MNQ = 180° − ∠BCQ, поэтому MNQP вписанный. Условие AQ ⊥ BQ означает, что Q лежит на окружности с диаметром AB; по степени точки M получаем MP·MB = MQ·MN, откуда PM = 2√21.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.