Окружность девяти точек: найти A₁H — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 10.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 10.
Показать ответ
б) 5
Решение
Точки A1, B1, C1 и H лежат на окружности девяти точек: ∠B1HC1 и ∠B1A1C1 опираются на один отрезок и равны. Хорда A1H этой окружности вычисляется по сторонам треугольника и равна 5.
Пример 2
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 30°, ∠BCA = 60°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 2.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 2.
Показать ответ
б) √3
Решение
Точки A1, B1, C1 и H лежат на окружности девяти точек: ∠B1HC1 и ∠B1A1C1 опираются на один отрезок и равны. Хорда A1H этой окружности вычисляется по сторонам треугольника и равна √3.
Пример 3
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 30°, ∠BCA = 30°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 9.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 9.
Показать ответ
б) 9
Решение
Точки A1, B1, C1 и H лежат на окружности девяти точек: ∠B1HC1 и ∠B1A1C1 опираются на один отрезок и равны. Хорда A1H этой окружности вычисляется по сторонам треугольника и равна 9.
Пример 4
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 30°, ∠BCA = 30°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 4.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 4.
Показать ответ
б) 4√3
Решение
Точки A1, B1, C1 и H лежат на окружности девяти точек: ∠B1HC1 и ∠B1A1C1 опираются на один отрезок и равны. Хорда A1H этой окружности вычисляется по сторонам треугольника и равна 4√3.
Пример 5
В треугольнике ABC точки A1, B1 и C1 — середины сторон BC, AC и AB соответственно, AH — высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 60°.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 6.
а) Докажите, что точки A1, B1, C1 и H лежат на одной окружности.
б) Найдите A1H, если BC = 6.
Показать ответ
б) 0
Решение
Точки A1, B1, C1 и H лежат на окружности девяти точек: ∠B1HC1 и ∠B1A1C1 опираются на один отрезок и равны. Хорда A1H этой окружности вычисляется по сторонам треугольника и равна 0.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.