Окружность с диаметром CM: площадь BOMN — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Две окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 3 и AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 3 и AM : MC = 1 : 3.
Показать ответ
б) 63/16
Решение
Из условия касания и AM : MC = 1 : 3 следует BC = MC. Тогда ∠MNC = ∠OBC как углы при равных дугах, откуда MN ∥ BO. Площадь четырёхугольника BOMN равна 63/16.
Пример 2
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 4 и AM : MC = 1 : 3.
Показать ответ
б) 7
Решение
Из условия касания и AM : MC = 1 : 3 следует BC = MC. Тогда ∠MNC = ∠OBC как углы при равных дугах, откуда MN ∥ BO. Площадь четырёхугольника BOMN равна 7.
Пример 3
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 13 и AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 13 и AM : MC = 1 : 3.
Показать ответ
б) 1183/16
Решение
Из условия касания и AM : MC = 1 : 3 следует BC = MC. Тогда ∠MNC = ∠OBC как углы при равных дугах, откуда MN ∥ BO. Площадь четырёхугольника BOMN равна 1183/16.
Пример 4
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 16 и AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 16 и AM : MC = 1 : 3.
Показать ответ
б) 112
Решение
Из условия касания и AM : MC = 1 : 3 следует BC = MC. Тогда ∠MNC = ∠OBC как углы при равных дугах, откуда MN ∥ BO. Площадь четырёхугольника BOMN равна 112.
Пример 5
Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 2 и AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямые MN и BO параллельны.
б) Найдите площадь четырёхугольника BOMN, если CN = 2 и AM : MC = 1 : 3.
Показать ответ
б) 7/4
Решение
Из условия касания и AM : MC = 1 : 3 следует BC = MC. Тогда ∠MNC = ∠OBC как углы при равных дугах, откуда MN ∥ BO. Площадь четырёхугольника BOMN равна 7/4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.