Основания высот: радиус описанной окружности — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 22 и ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 22 и ∠ABC = 60°.
Показать ответ
б) 44√3/3
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PAC = ∠PQC. Треугольник BPQ подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos∠B, значит PQ = AC·cos∠B, а AC = 2R·sin∠B. Отсюда R = PQ/sin 2∠B = 44√3/3.
Пример 2
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 11 и ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 11 и ∠ABC = 60°.
Показать ответ
б) 22
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PAC = ∠PQC. Треугольник BPQ подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos∠B, значит PQ = AC·cos∠B, а AC = 2R·sin∠B. Отсюда R = PQ/sin 2∠B = 22.
Пример 3
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 3 и ∠ABC = 45°.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 3 и ∠ABC = 45°.
Показать ответ
б) 3
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PAC = ∠PQC. Треугольник BPQ подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos∠B, значит PQ = AC·cos∠B, а AC = 2R·sin∠B. Отсюда R = PQ/sin 2∠B = 3.
Пример 4
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 12 и ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 12 и ∠ABC = 60°.
Показать ответ
б) 8√3
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PAC = ∠PQC. Треугольник BPQ подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos∠B, значит PQ = AC·cos∠B, а AC = 2R·sin∠B. Отсюда R = PQ/sin 2∠B = 8√3.
Пример 5
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 10 и ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 10 и ∠ABC = 60°.
Показать ответ
б) 20
Решение
Точки P и Q лежат на окружности с диаметром AC, поэтому ∠PAC = ∠PQC. Треугольник BPQ подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos∠B, значит PQ = AC·cos∠B, а AC = 2R·sin∠B. Отсюда R = PQ/sin 2∠B = 20.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.