Отрезок PQ внутри вписанной окружности — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанная и вневписанная окружности. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 32.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 32.
Показать ответ
б) 24
Решение
Координаты точек P и Q считаются напрямую; прямая PQ пересекает среднюю линию в точке, делящей её в отношении 1 : 3. Хорда вписанной окружности, высекаемая прямой PQ, равна 2√(r2 − d2), где d — расстояние от центра до PQ, и равна 24.
Пример 2
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 8.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 8.
Показать ответ
б) 6
Решение
Координаты точек P и Q считаются напрямую; прямая PQ пересекает среднюю линию в точке, делящей её в отношении 1 : 3. Хорда вписанной окружности, высекаемая прямой PQ, равна 2√(r2 − d2), где d — расстояние от центра до PQ, и равна 6.
Пример 3
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 20.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 20.
Показать ответ
б) 15
Решение
Координаты точек P и Q считаются напрямую; прямая PQ пересекает среднюю линию в точке, делящей её в отношении 1 : 3. Хорда вписанной окружности, высекаемая прямой PQ, равна 2√(r2 − d2), где d — расстояние от центра до PQ, и равна 15.
Пример 4
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 16.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 16.
Показать ответ
б) 12
Решение
Координаты точек P и Q считаются напрямую; прямая PQ пересекает среднюю линию в точке, делящей её в отношении 1 : 3. Хорда вписанной окружности, высекаемая прямой PQ, равна 2√(r2 − d2), где d — расстояние от центра до PQ, и равна 12.
Пример 5
Боковые стороны AB и AC равнобедренного треугольника ABC вдвое больше основания BC. На боковых сторонах AB и AC отложены отрезки AP и CQ соответственно, равные четверти этих сторон.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 12.
а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная его основанию, делится прямой PQ в отношении 1 : 3.
б) Найдите длину отрезка прямой PQ, заключённого внутри вписанной окружности треугольника ABC, если BC = 12.
Показать ответ
б) 9
Решение
Координаты точек P и Q считаются напрямую; прямая PQ пересекает среднюю линию в точке, делящей её в отношении 1 : 3. Хорда вписанной окружности, высекаемая прямой PQ, равна 2√(r2 − d2), где d — расстояние от центра до PQ, и равна 9.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.