Перпендикуляр к биссектрисе: отношение AP : PN — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 20, BC = 9, AC = 25.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
Показать ответ
б) 5:1
Решение
Прямая AM — ось симметрии для B и N, поэтому AN = AB = 20 и CN = 5. Биссектриса AM делит BC как AB : AC, значит CM = 5 = CN, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса угла C — его медиана. Точка P лежит на AM, поэтому PN = PB, и AP : PN = AP : PB = 5:1.
Пример 2
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 18, BC = 15, AC = 27.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
Показать ответ
б) 3:1
Решение
Прямая AM — ось симметрии для B и N, поэтому AN = AB = 18 и CN = 9. Биссектриса AM делит BC как AB : AC, значит CM = 9 = CN, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса угла C — его медиана. Точка P лежит на AM, поэтому PN = PB, и AP : PN = AP : PB = 3:1.
Пример 3
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 10, BC = 15, AC = 20.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
Показать ответ
б) 2:1
Решение
Прямая AM — ось симметрии для B и N, поэтому AN = AB = 10 и CN = 10. Биссектриса AM делит BC как AB : AC, значит CM = 10 = CN, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса угла C — его медиана. Точка P лежит на AM, поэтому PN = PB, и AP : PN = AP : PB = 2:1.
Пример 4
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 3, BC = 8, AC = 9.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
Показать ответ
б) 3:2
Решение
Прямая AM — ось симметрии для B и N, поэтому AN = AB = 3 и CN = 6. Биссектриса AM делит BC как AB : AC, значит CM = 6 = CN, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса угла C — его медиана. Точка P лежит на AM, поэтому PN = PB, и AP : PN = AP : PB = 3:2.
Пример 5
В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону AC в точке N; AB = 12, BC = 10, AC = 18.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам.
б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника ABC. Найдите отношение AP : PN.
Показать ответ
б) 3:1
Решение
Прямая AM — ось симметрии для B и N, поэтому AN = AB = 12 и CN = 6. Биссектриса AM делит BC как AB : AC, значит CM = 6 = CN, треугольник CMN равнобедренный, и биссектриса угла C — его медиана. Точка P лежит на AM, поэтому PN = PB, и AP : PN = AP : PB = 3:1.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.