Перпендикуляры из B на биссектрисы: площадь KBM — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Биссектрисы. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 5, BC = 16, AB = 19.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 5, BC = 16, AB = 19.
Показать ответ
б) 30√3
Решение
Продолжение BK до пересечения с AC даёт точку, симметричную B относительно биссектрисы AA1, поэтому K — середина этого отрезка и лежит на средней линии треугольника, параллельной AC; то же верно для M. Значит MK ∥ AC, а площадь треугольника KBM равна 30√3.
Пример 2
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 5, BC = 6, AB = 6.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 5, BC = 6, AB = 6.
Показать ответ
б) 7√119/16
Решение
Продолжение BK до пересечения с AC даёт точку, симметричную B относительно биссектрисы AA1, поэтому K — середина этого отрезка и лежит на средней линии треугольника, параллельной AC; то же верно для M. Значит MK ∥ AC, а площадь треугольника KBM равна 7√119/16.
Пример 3
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 13, BC = 11, AB = 12.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 13, BC = 11, AB = 12.
Показать ответ
б) 15√105/13
Решение
Продолжение BK до пересечения с AC даёт точку, симметричную B относительно биссектрисы AA1, поэтому K — середина этого отрезка и лежит на средней линии треугольника, параллельной AC; то же верно для M. Значит MK ∥ AC, а площадь треугольника KBM равна 15√105/13.
Пример 4
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 20, BC = 20, AB = 20.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 20, BC = 20, AB = 20.
Показать ответ
б) 25√3
Решение
Продолжение BK до пересечения с AC даёт точку, симметричную B относительно биссектрисы AA1, поэтому K — середина этого отрезка и лежит на средней линии треугольника, параллельной AC; то же верно для M. Значит MK ∥ AC, а площадь треугольника KBM равна 25√3.
Пример 5
В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и CC1, точки K и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые AA1 и CC1.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 11, BC = 17, AB = 8.
а) Докажите, что MK ∥ AC.
б) Найдите площадь треугольника KBM, если AC = 11, BC = 17, AB = 8.
Показать ответ
б) 21√35/11
Решение
Продолжение BK до пересечения с AC даёт точку, симметричную B относительно биссектрисы AA1, поэтому K — середина этого отрезка и лежит на средней линии треугольника, параллельной AC; то же верно для M. Значит MK ∥ AC, а площадь треугольника KBM равна 21√35/11.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.