Перпендикуляры из основания высоты: отношение площадей — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 12.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 12.
Показать ответ
б) 1:35
Решение
Из прямоугольных треугольников BHA и BHC: BK·BA = BH2 и BM·BC = BH2, поэтому BK/BC = BM/BA и треугольник MBK подобен ABC с коэффициентом BH2/(AB·BC). Так как AB·BC = 2R·BH, коэффициент равен BH/(2R) = 1/6. Отсюда S(MBK) : S(AKMC) = BH2 : (4R2 − BH2) = 1:35.
Пример 2
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 8.
Показать ответ
б) 1:15
Решение
Из прямоугольных треугольников BHA и BHC: BK·BA = BH2 и BM·BC = BH2, поэтому BK/BC = BM/BA и треугольник MBK подобен ABC с коэффициентом BH2/(AB·BC). Так как AB·BC = 2R·BH, коэффициент равен BH/(2R) = 1/4. Отсюда S(MBK) : S(AKMC) = BH2 : (4R2 − BH2) = 1:15.
Пример 3
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 4, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5.
Показать ответ
б) 4:21
Решение
Из прямоугольных треугольников BHA и BHC: BK·BA = BH2 и BM·BC = BH2, поэтому BK/BC = BM/BA и треугольник MBK подобен ABC с коэффициентом BH2/(AB·BC). Так как AB·BC = 2R·BH, коэффициент равен BH/(2R) = 2/5. Отсюда S(MBK) : S(AKMC) = BH2 : (4R2 − BH2) = 4:21.
Пример 4
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 3, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 3.
Показать ответ
б) 1:3
Решение
Из прямоугольных треугольников BHA и BHC: BK·BA = BH2 и BM·BC = BH2, поэтому BK/BC = BM/BA и треугольник MBK подобен ABC с коэффициентом BH2/(AB·BC). Так как AB·BC = 2R·BH, коэффициент равен BH/(2R) = 1/2. Отсюда S(MBK) : S(AKMC) = BH2 : (4R2 − BH2) = 1:3.
Пример 5
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соответственно.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 15, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику ABC.
б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади четырёхугольника AKMC, если BH = 15, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Показать ответ
б) 1:3
Решение
Из прямоугольных треугольников BHA и BHC: BK·BA = BH2 и BM·BC = BH2, поэтому BK/BC = BM/BA и треугольник MBK подобен ABC с коэффициентом BH2/(AB·BC). Так как AB·BC = 2R·BH, коэффициент равен BH/(2R) = 1/2. Отсюда S(MBK) : S(AKMC) = BH2 : (4R2 − BH2) = 1:3.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.