Перпендикуляры к высотам: отношение EH к AC — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Высоты и ортоцентр. 3 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 30°.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 30°.
Показать ответ
б) 3/4
Решение
Точки M и K лежат на окружности с диаметром AC, а треугольник BKM подобен BAC с коэффициентом cos∠B. Дальнейшее проектирование даёт EH = AC·cos2∠B, то есть EH : AC = 3/4.
Пример 2
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 60°.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 60°.
Показать ответ
б) 1/4
Решение
Точки M и K лежат на окружности с диаметром AC, а треугольник BKM подобен BAC с коэффициентом cos∠B. Дальнейшее проектирование даёт EH = AC·cos2∠B, то есть EH : AC = 1/4.
Пример 3
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 45°.
а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.
б) Найдите отношение EH к AC, если ∠ABC = 45°.
Показать ответ
б) 1/2
Решение
Точки M и K лежат на окружности с диаметром AC, а треугольник BKM подобен BAC с коэффициентом cos∠B. Дальнейшее проектирование даёт EH = AC·cos2∠B, то есть EH : AC = 1/2.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.