Precettore

Продолжения высот на окружности: площадь MNP — задание 18 ЕГЭ по профильной математике

Высоты и ортоцентр. 5 примера с ответом и проверкой.

Пример 1

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 2.

Показать ответ
б) 2√3/3
Решение
Точки M, N, P симметричны ортоцентру относительно сторон, поэтому углы треугольника MNP равны 180° − 2∠A = 60°, 180° − 2∠B = 90° и 180° − 2∠C = 30° — один из них прямой. Радиус описанной окружности тот же, и площадь равна 2√3/3.

Пример 2

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 6.

Показать ответ
б) 6√3
Решение
Точки M, N, P симметричны ортоцентру относительно сторон, поэтому углы треугольника MNP равны 180° − 2∠A = 60°, 180° − 2∠B = 90° и 180° − 2∠C = 30° — один из них прямой. Радиус описанной окружности тот же, и площадь равна 6√3.

Пример 3

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 60°, ∠ABC = 75°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 83.

Показать ответ
б) 32√3
Решение
Точки M, N, P симметричны ортоцентру относительно сторон, поэтому углы треугольника MNP равны 180° − 2∠A = 60°, 180° − 2∠B = 30° и 180° − 2∠C = 90° — один из них прямой. Радиус описанной окружности тот же, и площадь равна 32√3.

Пример 4

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 63.

Показать ответ
б) 18√3
Решение
Точки M, N, P симметричны ортоцентру относительно сторон, поэтому углы треугольника MNP равны 180° − 2∠A = 60°, 180° − 2∠B = 90° и 180° − 2∠C = 30° — один из них прямой. Радиус описанной окружности тот же, и площадь равна 18√3.

Пример 5

В треугольнике ABC известно, что ∠BAC = 60°, ∠ABC = 45°. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если известно, что BC = 18.

Показать ответ
б) 54√3
Решение
Точки M, N, P симметричны ортоцентру относительно сторон, поэтому углы треугольника MNP равны 180° − 2∠A = 60°, 180° − 2∠B = 90° и 180° − 2∠C = 30° — один из них прямой. Радиус описанной окружности тот же, и площадь равна 54√3.

Другие темы задания №18

1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD

Нужен репетитор по математике?

Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.

Репетиторы по математике

Подбор репетитора

Напишите, что нужно, — команда Precettore подберёт репетитора и свяжется с вами.

Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore

Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.

Начать бесплатноЯ репетитор