Прямоугольник в равнобедренном прямоугольном: площадь — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанные прямоугольники и квадраты. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 7.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 7.
Показать ответ
б) 147√2 − 196
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 147√2 − 196.
Пример 2
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 11.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 11.
Показать ответ
б) 363√2 − 484
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 363√2 − 484.
Пример 3
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 9.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 9.
Показать ответ
б) 243√2 − 324
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 243√2 − 324.
Пример 4
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 1.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 1.
Показать ответ
б) 3√2 − 4
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 3√2 − 4.
Пример 5
В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине B проведена биссектриса AK. В треугольник ABC вписан прямоугольник KLMN так, что сторона MN лежит на отрезке AC, а вершина L — на отрезке AB.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 5.
а) Докажите, что MN = √2·KN.
б) Найдите площадь прямоугольника KLMN, если AB = 5.
Показать ответ
б) 75√2 − 100
Решение
Биссектриса из A делит BC в отношении AB : AC = 1 : √2, поэтому BK = AB(√2 − 1). Сторона KN — расстояние от K до AC, а KL ∥ AC, откуда MN = KL = √2·KN. Площадь равна KL·KN = AB2(3√2 − 4) = 75√2 − 100.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.