Прямоугольник в треугольнике с углом 120°: площадь — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанные прямоугольники и квадраты. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 8.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 8.
Показать ответ
б) 96 − 48√3
Решение
Углы при основании равны 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике DHC катет DH вдвое меньше гипотенузы DC; вместе с DE = HF это даёт FH = 2DH. Площадь прямоугольника равна 96 − 48√3.
Пример 2
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 14.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 14.
Показать ответ
б) 294 − 147√3
Решение
Углы при основании равны 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике DHC катет DH вдвое меньше гипотенузы DC; вместе с DE = HF это даёт FH = 2DH. Площадь прямоугольника равна 294 − 147√3.
Пример 3
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 1.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 1.
Показать ответ
б) 3/2 − 3√3/4
Решение
Углы при основании равны 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике DHC катет DH вдвое меньше гипотенузы DC; вместе с DE = HF это даёт FH = 2DH. Площадь прямоугольника равна 3/2 − 3√3/4.
Пример 4
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 12.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 12.
Показать ответ
б) 216 − 108√3
Решение
Углы при основании равны 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике DHC катет DH вдвое меньше гипотенузы DC; вместе с DE = HF это даёт FH = 2DH. Площадь прямоугольника равна 216 − 108√3.
Пример 5
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона HF лежит на отрезке BC, а вершина E — на отрезке AB.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 13.
а) Докажите, что FH = 2DH.
б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 13.
Показать ответ
б) 507/2 − 507√3/4
Решение
Углы при основании равны 30°, поэтому в прямоугольном треугольнике DHC катет DH вдвое меньше гипотенузы DC; вместе с DE = HF это даёт FH = 2DH. Площадь прямоугольника равна 507/2 − 507√3/4.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.