Птолемей: найти диагональ BD — задание 18 ЕГЭ по профильной математике
Вписанный четырёхугольник. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 11, BC = CD = 24, AD = 35, AC = 31.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Показать ответ
б) 1104/31
Решение
По теореме косинусов cos∠ABC = −½ и cos∠ADC = ½, поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и около ABCD можно описать окружность. По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, откуда BD = 1104/31.
Пример 2
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 15, BC = CD = 25, AD = 40, AC = 35.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Показать ответ
б) 275/7
Решение
По теореме косинусов cos∠ABC = −½ и cos∠ADC = ½, поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и около ABCD можно описать окружность. По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, откуда BD = 275/7.
Пример 3
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 7, BC = CD = 8, AD = 15, AC = 13.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Показать ответ
б) 176/13
Решение
По теореме косинусов cos∠ABC = −½ и cos∠ADC = ½, поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и около ABCD можно описать окружность. По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, откуда BD = 176/13.
Пример 4
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 10, BC = CD = 6, AD = 16, AC = 14.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Показать ответ
б) 78/7
Решение
По теореме косинусов cos∠ABC = −½ и cos∠ADC = ½, поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и около ABCD можно описать окружность. По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, откуда BD = 78/7.
Пример 5
В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 16, BC = CD = 5, AD = 21, AC = 19.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.
б) Найдите BD.
Показать ответ
б) 185/19
Решение
По теореме косинусов cos∠ABC = −½ и cos∠ADC = ½, поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и около ABCD можно описать окружность. По теореме Птолемея AC·BD = AB·CD + BC·AD, откуда BD = 185/19.
Другие темы задания №18
1Сумма оснований и диагонали: высота2Углы ABD и ACD прямые: найти AD3Диагональ режет на два равнобедренных: найти CD4AD = 3BC: расстояние до середины диагонали5AD = 2BC: расстояние от C до середины OD6Высота CM делит AD 2 : 1: расстояние до середины BD7Окружность на боковой стороне как на диаметре: найти AD8Описанная трапеция: диагональ по средней линии и углу9Середины AD и AB: доля площади четырёхугольника AMOE10Окружность на AD как на диаметре: площадь AOB11Прямоугольная описанная трапеция: площадь12Точка M с прямыми углами ABM и DCM: угол BAD
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.